L FEHFGECG图2FH动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想一、单动点问题小菜一碟：如图 2，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1，N 为对角线 AC 上任意一点，则 DN+MN 的最小值为例（10 年房ft 二模压轴）25. （1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点 EDADADBCBBC图1图3作 EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥AC 于点 G ，CH ⊥BD 于点 H ，试证明 CH=EF+EG;(2) 若点 E 在ＢＣ的延长线上，如图 2，过点 E 作 EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥AC 的延长线于点 G ，CH ⊥BD 于点 H ， 则 EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(3) 如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线,L 在 BD 上，且 BL=BC, 连结 CL ，点 E 是 CL 上任一点, EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥BC 于点 G ，猜想 EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(4) 观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形， 使它仍然具有 EF 、EG 、ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.D F 图 2FDD F FD1.(2009 临沂 25)数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点． ∠AEF = 90 ，且 EF 交正方形外角∠DCG 的平行线 CF 于点 F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M ，连接 ME ，则 AM=EC ，易证 △≌AM △E ECF ，所以 AE = EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1） 小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2） 小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确． A证明：在 AB 上取一点 M ，使 AM = EC ，连接 ME ． A∴ BM = BE ．∴∠BME = 45° ，∴∠AME = 135° ． M CF 是外角平分线，∴∠DCF = 45° ，∴∠ECF = 135° ． ∴∠AME = ∠ECF ． B ∠AEB + ∠BAE = 90° ， ∠AEB + ∠CEF = 90° ， E C G B E C G图 1 A ∴ ∠BAE = ∠CEF ． （2）正确．∴△≌A M △E BCF （ASA ）． ∴ AE = EF ． 证明：在 BA 的延长线上取一点 N ．使 AN = CE ，连接 NE ． B E CG∴ BN = BE ． ∴∠N = ∠PCE = 45° ．N 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD ∥ BE ． AA∴∠DAE = ∠BEA ． ∴∠NAE = ∠CEF ． ∴△≌A N △E ECF （ASA ）． ∴ AE = EF ．BC E GBC E G图 32.（2009 年江西中考题 25）如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD //BC ，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF //BC 交 CD 于点 F ，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．（1） 求点 E 到 BC 的距离； （2） 点 P 为线段 EF 上的一个动点，过点 P 作 PM ⊥EF 交 BC 于 M ，过 M 作 MN //AB 交折线 ADC 于 N ，连结 PN ，设 EP ＝x ．①当点 N 在线段 AD 上时（如图 2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的 x 的值；若不存在，请说明理由．D F3333 73 71图1 图2 图3思路点拨1.先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD 的中位线EF＝4，这是x 的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD 与EF、EF 与BC 间的距离相等．2.当点N 在线段AD 上时，△PMN 中PM 和MN 的长保持不变是显然的，求证PN 的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．3.分三种情况讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．满分解答（1）如图4，过点E 作EG⊥BC 于G．在Rt△BEG 中，BE =AB = 2 ，∠B＝60°，2所以BG =BE ⋅ cos 60︒= 1，EG =BE ⋅sin 60︒=．所以点E 到BC 的距离为．（2）因为AD//EF//BC，E 是AB 的中点，所以F 是D C 的中点．因此EF 是梯形ABCD 的中位线，EF＝4．①如图4，当点N 在线段AD 上时，△PMN 的形状不是否发生改变．过点N 作NH⊥EF 于H，设PH 与NM 交于点Q．在矩形EGMP 中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝．在平行四边形BMQE 中，BM＝EQ＝1＋x．所以BG＝PQ＝1．因为PM 与NH 平行且相等，所以PH 与NM 互相平分，PH＝2PQ＝2．在Rt△PNH 中，NH＝，PH＝2，所以PN＝．在平行四边形ABMN 中，MN＝AB＝4．因此△PMN 的周长为＋＋4．图4 图5②当点N 在线段DC 上时，△CMN 恒为等边三角形．如图5，当PM＝PN 时，△PMC 与△PNC 关于直线PC 对称，点P 在∠DCB 的平分线上．在Rt△PCM 中，PM＝，∠PCM＝30°，所以MC＝3．3 3333(6 -m)3此时M、P 分别为BC、EF 的中点，x＝2．如图6，当MP＝MN 时，MP＝MN＝MC＝，x＝GM＝GC－MC＝5－．如图7，当NP＝NM 时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°．又因为∠FNM＝120°，所以P 与F 重合．此时x＝4．综上所述，当x＝2 或4 或5－时，△PMN 为等腰三角形．考点伸展图6 图7 图8第（2）②题求等腰三角形PMN 可以这样解：如图8，以B 为原点，直线BC 为x 轴建立坐标系，设点M 的坐标为（m，0），那么点P 的坐标为m + 6（m，），MN＝MC＝6－m，点N 的坐标为（，）．2 2由两点间的距离公式，得PN 2=m2- 9m + 21 ．当PM＝PN 时，m2- 9m + 21 = 9 ，解得m = 3 或m = 6 ．此时x = 2 ．当MP＝MN 时，6 -m = ，解得m = 6 - ，此时x = 5 -．当NP＝NM 时，m2- 9m + 21 = (6 -m)2，解得m = 5 ，此时x = 4 ．二、双动点问题例：如图1，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q 分别从A，C 同时出发，设移动时间为t 秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6当t= 时，四边形是等腰梯形. 833DQ1、（2012 贵州遵义 12 分）如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动 （与 A 、C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PE⊥AB 于 E ，连接 PQ 交 AB 于 D ．（1） 当∠BQD=30°时，求 AP 的长；（2） 当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由．2、如图，已知△ABC 中， AB = AC = 10 厘米， BC = 8 厘米，点 D 为 AB 的中点．(1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， △BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？（2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵t = 1秒， ∴ BP = CQ = 3⨯1 = 3 厘米， A∵ AB = 10 厘米，点 D 为 AB 的中点， ∴ BD = 5 厘米．又∵ PC = BC - BP ，BC = 8 厘米， ∴ PC = 8 - 3 = 5 厘米， ∴ PC = BD ．又∵AB = AC ， ∴ ∠B = ∠C ， ∴△≌B P △D CQP ．BCP②∵ v P≠ v Q，∴ BP ≠ CQ ， 又∵△≌B P △D CQP ， ∠B = ∠C ，则BP = PC = 4，CQ = BD = 5 ，v = CQ = 5 = 15∴点 P ，点Q 运动的时间 t = BP =4 Qt 3 3 秒， ∴ 4 4 3 厘米/秒。

lE ODCM DCE N MCEDN 图 315x = 3x + 2 ⨯10 （2）设经过 x 秒后点 P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 4 80⨯ 3 = 80，解得x =80 3 秒． ∴点 P 共运动了 3厘米． ∵ 80 = 2 ⨯ 28 + 24 ，∴点 P 、点Q 在 AB 边上相遇，∴经过 803 秒点 P 与点Q 第一次在边 AB 上相遇．三、线动问题例：如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB = 90°，∠° B = 60 ， BC = 2 ．点O 是 AC 的中点，过点O 的直线l 从与 AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交 AB 边于点 D ．过点C 作CE ∥ AB 交直线l 于点 E ，设直线l 的旋转角为．（1） ①当= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时 AD 的长为 ；②当= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为 ；（2） 当= 90°时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900 时，四边形 EDBC 是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形 EDBC 是平行四边形在 Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC=2 1AC. ∴AO= 2= AB.在 Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形 EDBC 是平行四边形， ∴四边形 EDBC 是菱形A4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线 MN 经过点 C ，且 AD ⊥MN 于（备用图）D ，BE ⊥MN 于 E.M CDABABABE图 1图 2N(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ；(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC∴△ADC ≌△CEB3 3 CO②∵△ADC≌△CEB ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3)当MN 旋转到图3 的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.。