cos t sin t
sin t cos t
,
(2)
2
At
dt,
d
t2
At
d
t
0
dt 0
由矩阵积分定义得：
2
0
At
dt
1 1
11,
利用可变上限函数的导数公式得：
d
t2
At
dt
2t
At2
dt 0
2t
cos t sin
2
t2
sin t cos t
2 2
纯量函数对矩阵的导数
设 X
xij
,
dt
1 1 3
条件 X 0 1,1,1 的解
用待定系数法先求矩阵函数值 e At
由矩阵A的特征多项式为 23, 易求得A的最小多项式 为 m 22, 则设 f z etz mzqz a bz,
由 f 2 e2t a 2b, f 2 te2t b 求得
a 1 2te2t ,b te2t
d ( X T AX ) dt
dX T AX X T A dX
dt
dt
2 dX T AX dt
定理 对任意n阶矩阵A(A与x无关），成立
deAx Ae Ax e Ax A dx
d sin Ax Acos Ax cos AxA
dx
d cos Ax Asin Ax sin AxA
dx
由函数对矩阵导数的定义可得：
T
df dX
f x1
,
f x2
,,
f xn
df dX T
f x1
,
f x2
,,
f xn
自学:P116 例2,例3,例4
矩阵值函数对矩阵的导数
设 A( X ) ( flk ( X )) Cmn , X (xij ) C pq ,
定义函数矩阵 A(X ) 对矩阵X的导数为：
dA( X dX
)
A ( xij
) C mpnq
自学:P118
例5,例6
第五节 微分方程组的求解
一阶常系数线性齐次微分方程组
dx1
dt dx2 dt
a11x1 a12 x2 a1n xn a21x1 a22 x2 a2n xn
dxn dt
an1x1 an2 x2
ann xn
dt dt dt
dt
(2)
2
At
dt,
d
t2
At
d
t
0
dt 0
由
dAt
dt
sin cos
t t
cos t sin t
,
得
dAt 1
dt
由 At 1 得 d At 0
dt
由
A
1
t
cos sin
t t
sin t cos t
得
dA1 dt
t
sin t cos t
cos t sin t
,
At
QR分解定理
任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A = QR ，其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩 阵证。明
设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为 x 1,x 2, …,x n 由于x 1,x 2, …,x n 线性无关，将它们用Schmidt正交
化方法得标准正交向量e 1,e 2, …,e n
记为 F(s) L(( f (t))
若F（s）是f(t)拉氏变换，则称f(t)是F（s）的拉氏 逆变换或向原函数，记为
f (t) L1(F(s))
拉氏变换存在定理： 若函数f(t)满足：1）在 t 0 的任一有限区间上分段连续； 2）当 t 时f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即 存在 M 0 , 0 , 使得 f (t) Met ,0 t 成立，则 f(t)的Laplace变换在半平面 Re(s) 上一定存在，并且
0
例2、求解一阶线性微分方程组
dx1 dt
x1 2x2
1
dx2 dt
4x1 3x2
1
x1
(0)
1,
x2
(0)
2
解令
A 14
32,
X
x1 x2
,
F (t )
11,
X0
12
改写成矩阵方程为
dX dt
X
AX F (t (0) X 0
)
用Jordan法求矩阵函数值 e At
A
x1 b11e1 x2 b12e1 b22e2
其中 bii 0 , i 1,2,, n
xn b1ne1 b2ne2 bnnen
从而有
x1
x2
xn e1
用拉氏变换求解微分方程组
dx
dt
Ax(t)
ห้องสมุดไป่ตู้
x(0) x0
记 X (s) L[(x(t)] , 在微分方程两边取拉氏变换：
L[(x(t)] L[ Ax(t)]
微分性质可得 sX (s) x(0) AX (s)
于是 (sI A)X (s) x(0) 从而 X (s) (sI A)1 x(0)
积分 f (t)estdt 绝对收敛且一致收敛。 0
拉氏变换的性质： （1）拉氏变换是线性变换； （2）微分性质：L[( f (t)] sF (s) f (0)
常用的拉氏变换公式：见教材P156 拉氏变换可推广到向量函数，矩阵函数上去，即
如果向量函数的每一分量都存在拉氏变换，则可定
义该向量函数的拉氏变换。
A2 X 0
,
d 3 X (0) dt3
A3 X 0
d
k X (0) dtk
Ak
X
所以由Maclaurin级数展开得
0
X
(t)
k 0
1X k!
(k)
(0)t
k
k 0
1 Ak k!
X
0t
k
k 0
1 Ak k!
t
k
X
0
eAt X0
例1、设 2
A 1
0 1
0 1,
求微分方程 dX AX t 满足初始
(3)ab(BA(x))dx B(ab A(x)dx) B与x无关
当函数aij(x)都连续时，称A(x)连续，则
d
x
A(s)ds A(x)
dx a
b
a A'(x)dx A(b) A(a)
例2、设At
cos t sin t
sin t cos t
,
求
(1) dAt , dAt , d At , dA1t
dt
dt
eAt ( dX AX ) dt
eAt F (t)
在 0,t 上对上式积分得：
d eAt X t eAt Ft
dt
0t
d ds
[e
As
X
(s)]ds
0t
e
As
F
(s)ds
即
eAt X (t) X (0) t eAs F (s)ds 0
X (t) eAt X0
t eA(ts)F (s)ds
从而
1 0 0
f A eAt aI bA
e2t
t
1t
t
t t 1 t
则微分方程组满足初始条件的解为：
X t eAt X0
e2t 1 1 t 1 tT
一阶常系数线性非齐次微分方程组问题
dX AX F (t) dt X (0) X 0
由
d [eAt X (t)] eAt ( A) X (t) eAt dX (t)
dx
dx
dx
于是 dA1(x) A1(x) dA (x) A1(x)
dx
dx
说明：因为矩阵乘法不满足交换律，一般地，对正整数 m 1 和
可导的函数矩阵 Ax, d Axm mAxm1 dAx
dx
dx
例1 求二次形X其TA中XA的是导n数阶实对称矩阵，
X=(x1(t),x2(t), …,xn(t))T
第二节 QR分解
QR分解也称为正交三角分解
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容：
1·矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2·矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换
定义:设A C nn. 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 R，使得 A QR 则称之为A的QR分解或酉三角分 当 A Rnn 时，则解称为A的正三角分解
xi xi (t), aij C
将此微分方程组改写为矩阵方程
dX AX dt
其中 A (aij ) C nn , X X t (x1, x2 ,, xn )T
一阶线性微分方程组的初值问题1
dX AX dt X 0 (c1, c2 ,, cn )T
其中
X 0 (x1(0), x2 (0),, xn (0))T
0
e5t 2e5t
1 et 1 et
e5t 1 et 2e5t 1 et
Laplace变换及应用
定义：设函数f(t)在 t 0 有定义，而且积分
f (t)estdt 0
（s 是一个复参量）
在s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数
F (s) f (t)estdt 0
为函数f(t)的Laplace变换，简称拉氏变换，或称象函数，
2e5ts 4e 5t s
2e t s 2e t s
则
eAt X 0
e5t 2e5t
e A(ts)
F
(s)
e(ts) e(ts)