全国2008年4月高等教育自学考试
复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a z z +=_
，则a 2+b 2
的值（
）
A ．等于0
B ．等于1
C ．小于1
D ．大于1
2．设2,3z w i z =+=,则（ ）
A ．3arg π
=w B ．6arg π
=w
C ．6arg π
-=w D ．3arg π
-=w
3．=i 2ln （ ）
A ．2ln
B ．i 22ln π
+
C ．i 22ln π
- D ．i i 2Arg 2ln +
4．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C ⎰=（ ）
A ．i π6
B ．i π4
C ．i π2
D ．0
5．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e z
C 2-⎰=（ ）
A ．e 2
B ．i e 22π
C ．i e 2π
D ．i e 22π-
6．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z z
C 4)1(++⎰=（ ）
A ．i e 3π
B ．e 6π
C ．ei π2
D ．i e
3π
7．z -21的幂级数展开式∑∞
=0
n n
n z a 在z =-4处（ ）
A ．绝对收敛
B ．条件收敛
C ．发散
D ．收敛于61
8．幂级数∑∞=+0)1(1n n n z i 的收敛半径为（ ）
A ．2
B ．1
C ．21
D ．0
9．函数z z tan 在z =0点的留数为（ ）
A ．2
B ．i
C ．1
D ．0
10．函数2
z e e ibz
iaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为（ ） A ．)(a b i - B ．a b -
C ．b a -
D ．)(b a i -
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11．设i z 10
1103+-=，则=_z ____________. 12．方程i z 31ln π
+=的解为____________.
13．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz C Re ____________.
14．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C 3_
)(____________. 15．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-C dz z z
3
2)2(cos π____________.
16．若在幂级数∑∞=0n n n
z b 中，i b b n
n n 43lim 1+=+∞→，则该幂级数的收敛半径为____________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分）
17．（本小题6分）设复数)
2)(1(--=i i i z （1）求z 的实部和虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点.
18．（本小题6分）
设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线.
19．(本小题7分)
设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值.
20．(本小题7分)
设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中xy x y y x u 2),(22--=，
求),(y x v .
21．（本小题6分） 求)
2)(4(2)(---=z z z f 在圆环域3|1|1<-<z 内的罗朗级数展开式. 22．（本小题6分） 设z z f -=11sin )(的幂级数展开式为∑∞=0n n n
z a ，求它的收敛半径，并计算系数a 1,a 2.
23．（本小题7分）
设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =.)(213
dz a z ze i z C -⎰π 24．（本小题7分） 求)
(1)(3i z z z f -=在各个孤立奇点处的留数. 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，两题都做按前一题评分。

每小题8分，
共16分）
25．利用留数计算积分⎰
+∞∞-++=dx x x x I )9)(1(222
. 26．设D 为Z 平面上的扇形区域.1||,3arg 0<<<z z π
求下列保角映射：
（1）)(11z f w =把D 映射为W 1平面的上半单位圆盘D 1；
（2）)(12w f w =把D 1映射为W 平面上的第一象限；
（3）)(z f w =把D 映射为W 平面上的第一象限.
27．求函数222)4(4)(-+=p p p F 的拉氏逆变换.。