2015年电大【工程数学】形成性考核册答案工程数学作业（一）答案（满分100分）第2章 矩阵（一）单项选择题（每小题 分，共 分）⒈设a a a b b b c c c 1231231232=，则a a a a b a b a b c c c 123112233123232323---=（ ）．－ －⒉若000100002001001a a=，则a =（ ）．12 － -12⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=（ ）．⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ ）． A B A B +=+---111 ()AB BA --=11 ()A B A B +=+---111 ()AB A B ---=111⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（ ）． A B A B +=+ AB n A B = kA k A = -=-kA k A n () ⒍下列结论正确的是（ ）．若A 是正交矩阵，则A -1也是正交矩阵若A B ,均为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB ≠0 ⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（ ）． 1325--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ --⎡⎣⎢⎤⎦⎥1325 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ --⎡⎣⎢⎤⎦⎥5321⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）． A ≠0 A ≠0 A *≠0 A *>0⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（ ）． ()'---B A C 111 '--B C A 11 A C B ---'111() ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）． ()A B A AB B +=++2222 ()A B B BA B +=+2 ()221111ABC C B A ----= ()22ABC C B A '=''' （二）填空题（每小题 分，共 分）⒈21014001---= ．⒉---11111111x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 ． ⒊若A 为34⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，切乘积AC B ''有意义，则C 为 × 矩阵．⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051． ⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,，则()A B +''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360 ⒍设A B ,均为 阶矩阵，且A B ==-3，则-=2AB ．⒎设A B ,均为 阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312()A B － ． ⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵，则a = ． ⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥的秩为 ．⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则AO O A 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A ． （三）解答题（每小题 分，共 分）⒈设A B C =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥123511435431,,，求⑴A B +；⑵A C +；⑶23A C +；⑷A B +5；⑸AB ；⑹()AB C '． 答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+8130B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+4066C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+73161732C A⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01222265B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=122377AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡='801512156)(C AB⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥121012103211114321002,,，求AC BC +．解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC ⒊已知A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥310121342102111211,，求满足方程32A X B -=中的X ．解： 32A X B -=∴ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=252112712511234511725223821)3(21B A X ⒋写出 阶行列式1020143602533110--中元素a a 4142,的代数余子式，并求其值．答案：0352634020)1(1441=--=+a 45350631021)1(2442=---=+a⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：⑴ 122212221--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥； ⑵ 1234231211111026---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥； ⑶ 1000110011101111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥．解：（ ）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-+--+-++-+-9192929291929292911000100019192920313203231100212011220120323190063201102012001360630221100010001122212221|2313323212312122913123222r r r r r r r r r r r r r r I A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∴-9192929291929292911A （ ）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-35141201132051717266221A 过程略 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11000110001100011A ⒍求矩阵1011011110110010121012113201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩．解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-00000000111000111011011011010111000011100011101101111112211100111000111011011111102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r ∴ 3)(=A R（四）证明题（每小题 分，共 分） ⒎对任意方阵A ，试证A A +'是对称矩阵． 证明：'')''(')''(A A A A A A A A +=+=+=+∴ A A +'是对称矩阵⒏若A 是n 阶方阵，且AA I '=，试证A =1或-1．证明： A 是n 阶方阵，且AA I '=∴12==='='I A A A A A∴ A =1或1-=A⒐若A 是正交矩阵，试证'A 也是正交矩阵． 证明： A 是正交矩阵∴ A A '=-1∴ )()()(111''==='---A A A A即'A 是正交矩阵工程数学作业（第二次） 满分 分第 章 线性方程组（一）单项选择题 每小题 分，共 分⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（ ）．[,,]102-' [,,]--'722 [,,]--'1122 [,,]---'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（ ）． 有无穷多解 有唯一解 无解 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ ）．⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（ ）是极大无关组．αα12, ααα123,, ααα124,, α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（ ）．秩()A =秩()A 秩()A <秩()A 秩()A >秩()A 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（ ）． 可能无解 有唯一解 有无穷多解 无解 ⒎以下结论正确的是（ ）．方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（ ）可被该向量组内其余向量线性表出．至少有一个向量 没有一个向量 至多有一个向量 任何一个向量．设 ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（ ）成立．Ａ．λ是 的特征值 Ｂ．λ是 的特征值Ｃ．λ是 － 的特征值 Ｄ．x 是 的属于λ的特征向量．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．BA AB = Ｂ．AB AB =')( Ｃ．B PAP =-1 Ｄ．B P PA =' （二）填空题 每小题 分，共 分 ⒈当λ= １ 时，齐次线性方程组x x x x 12120+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 ３ ．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的．⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．⒎设线性方程组AX =0中有 个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个．⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ 的根． ．若矩阵Ａ满足A A '=-1 ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题 第 小题 分，其余每小题 分 ．用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-2612100090392700188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+3311000411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-3100101001001020001310004110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x x ２．设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ 为何值时，方程组有唯一解 或有无穷多解解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22322222)1)(1()1)(2(00)1(110111110110111111111111111132312131λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ］∴当1≠λ且2-≠λ时，3)()(==A R A R ，方程组有唯一解 当1=λ时，1)()(==A R A R ，方程组有无穷多解３．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,, 解：向量β能否由向量组321,,ααα线性表出，当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解这里[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------==57100011710004131073110123730136578532,,,321βαααA )()(A R A R ≠∴方程组无解∴ β不能由向量321,,ααα线性表出４．计算下列向量组的秩，并且（ ）判断该向量组是否线性相关αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,,解：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=00000001800021101131631343393608293711131,,,4321αααα ∴该向量组线性相关５．求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 的一个基础解系． 解：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=+-+-+-+-++30000000731402114501103140731407314021314053521113215213142321241312114335r r r r r r r r r r r r A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−+-+↔-000100001431001450100010002114310211450100030002114310211450123133432212131141r r r r r r r r ∴ 方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x 令13=x ，得基础解系⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10143145ξ ６．求下列线性方程组的全部解．x x x x x x x x x x x x x x x 12341234124123452311342594175361-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=++-+-+-++00000000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-0000000000221711012179012141r∴方程组一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++-=2217112197432431x x x x x x令13k x =，24k x =，这里1k ，2k 为任意常数，得方程组通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00211021210171972217112197212121214321k k k k k k k k x x x x ７．试证：任一４维向量[]'=4321,,,a a a a β都可由向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00112α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01113α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11114α线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．证明：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-001012αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-010023αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-100034αα任一４维向量可唯一表示为)()()(10000100001000013442331221143214321αααααααβ-+-+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a a a a44343232121)()()(ααααa a a a a a a +-+-+-=⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．证明：设B AX =为含n 个未知量的线性方程组 该方程组有解，即n A R A R ==)()(从而B AX =有唯一解当且仅当n A R =)(而相应齐次线性方程组0=AX 只有零解的充分必要条件是n A R =)(∴ B AX =有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组0=AX 只有零解．设λ是可逆矩阵Ａ的特征值，且0≠λ，试证：λ1是矩阵1-A 的特征值．证明： λ是可逆矩阵Ａ的特征值∴存在向量ξ，使λξξ=A∴ξξλλξξξξ=====----1111)()()(A A A A A A I∴ξλξ11=-A即λ1是矩阵1-A 的特征值．用配方法将二次型43324221242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=化为标准型．解：42244232322143324224232212)(2)(222)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+++=+--+++= 222423221)()(x x x x x x -+-++=∴令211x x y +=，4232x x x y +-=，23x y =，44y x =即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-=44432332311y x y y y x y x y y x 则将二次型化为标准型232221y y y f -+=工程数学作业（第三次） 满分 分第 章 随机事件与概率（一）单项选择题⒈A B ,为两个事件，则（ ）成立． ()A B B A +-= ()A B B A +-⊂ ()A B B A -+= ()A B B A -+⊂⒉如果（ ）成立，则事件A 与B 互为对立事件． AB =∅ AB U=AB =∅且AB U = A 与B 互为对立事件⒊ 张奖券中含有 张中奖的奖券，每人购买 张，则前 个购买者中恰有 人中奖的概率为（ ）．C 10320703⨯⨯.. 03. 07032..⨯ 307032⨯⨯.. 对于事件A B ,，命题（ ）是正确的． 如果A B ,互不相容，则A B ,互不相容如果A B ⊂，则A B ⊂如果A B ,对立，则A B ,对立 如果A B ,相容，则A B ,相容⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p 则在 次重复试验中至少失败 次的概率为（ ）． 3)1(p - 31p - )1(3p - )1()1()1(223p p p p p -+-+-设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（ ）．设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b a b ,()<，E X ()=（ ）． xf x x ()d -∞+∞⎰ xf x x a b()d ⎰f x x a b()d ⎰ f x x ()d -∞+∞⎰ 在下列函数中可以作为分布密度函数的是（ ）．f x x x ()sin ,,=-<<⎧⎨⎪⎩⎪ππ2320其它 f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪0320π其它 f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎩00π其它 设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a P （ ）．F a F b ()()- F x x a b()d ⎰f a f b ()()- f x x ab ()d ⎰设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（ ）时，有E Y D Y (),()==01． Y X =+σμ Y X =-σμ Y X =-μσY X =-μσ2（二）填空题⒈从数字 中任取 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为52．已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,互不相容时，P A B ()+= ，P AB ()= ．A B ,为两个事件，且B A ⊂，则P A B ()+=()A P ． 已知P AB P AB P A p ()(),()==，则P B ()=P -1．若事件A B ,相互独立，且P A p P B q (),()==，则P A B ()+=pq q p -+．已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,相互独立时，P A B ()+= ，P A B ()= ．设随机变量X U ~(,)01，则X 的分布函数F x ()=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x xx ． 若X B ~(,.)2003，则E X ()= ． 若X N ~(,)μσ2，则P X ()-≤=μσ3)3(2Φ．E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的 协方差 ． （三）解答题设A B C ,,为三个事件，试用A B C ,,的运算分别表示下列事件： ⑴ A B C ,,中至少有一个发生； ⑵ A B C ,,中只有一个发生； ⑶ A B C ,,中至多有一个发生； ⑷ A B C ,,中至少有两个发生； ⑸ A B C ,,中不多于两个发生； ⑹ A B C ,,中只有C 发生．解 C B A ++ C B A C B A C B A ++ C B A C B A C B A C B A +++ BC AC AB ++ C B A ++ C B A袋中有 个红球， 个白球，现从中随机抽取 个球，求下列事件的概率： ⑴ 球恰好同色； ⑵ 球中至少有 红球．解 设A “ 球恰好同色”，B “ 球中至少有 红球”521013)(252223=+=+=C C C A P 1091036)(25231213=+=+=C C C C B P 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是 ，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 ，求加工出来的零件是正品的概率． 解：设=i A “第 道工序出正品”（ ）9506.0)03.01)(02.01()|()()(12121=--==A A P A P A A P市场供应的热水瓶中，甲厂产品占 ，乙厂产品占 ，丙厂产品占 ，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为 ，求买到一个热水瓶是合格品的概率． 解：设""1产品由甲厂生产=A ""2产品由乙厂生产=A ""3产品由丙厂生产=A""产品合格=B)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= 865.080.02.085.03.09.05.0=⨯+⨯+⨯=某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是p ，求所需设计次数X 的概率分布． 解：P X P ==)1(P P X P )1()2(-== P P X P 2)1()3(-==…………P P k X P k 1)1()(--==…………故 的概率分布是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯-⋯⋯--⋯⋯⋯⋯-p p p p p p p k k 12)1()1()1(321设随机变量X 的概率分布为12345601015020*********.......⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 试求P X P X P X (),(),()≤≤≤≠4253． 解：87.012.03.02.015.01.0)4()3()2()1()0()4(=++++==+=+=+=+==≤X P X P X P X P X P X P72.01.012.03.02.0)5()4()3()2()52(=+++==+=+=+==≤≤X P X P X P X P X P 7.03.01)3(1)3(=-==-=≠X P X P设随机变量X 具有概率密度f x x x (),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它 试求P X P X (),()≤<<12142． 解：412)()21(210221021====≤⎰⎰∞-x xdx dx x f X P 16152)()241(1412141241====<<⎰⎰x xdx dx x f X P 设X f x x x ~(),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它，求E X D X (),()．解：32322)()(1031==⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x xf X E 21422)()(10410222==⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x f x X E181)32(21)]([)()(222=-=-=x E X E X D设)6.0,1(~2N X ，计算⑴P X (..)0218<<；⑵P X ()>0．解：8164.019082.021)33.1(2)33.1()33.1()33.12.0133.1()8.12.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P 0475.09525.01)67.1(1)67.16.01()0(=-=Φ-=<-=>X P X P设X X X n 12,,, 是独立同分布的随机变量，已知E X D X (),()112==μσ，设X n X i i n==∑11，求E X D X (),()． 解：)]()()([1)(1)1()(21211n n ni i X E X E X E nX X X E n X nE X E +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑= μμ==n n 1)]()()([1)(1)1()(2122121n n n i i X D X D X D n X X X D n X n D X D +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑=22211σσn n n=⋅=工程数学作业（第四次）第 章 统计推断（一）单项选择题⒈设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则（ ）是统计量． x 1 x 1+μx 122σ μx 1⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则统计量（ ）不是μ的无偏估计．max{,,}x x x 123 1212()x x + 212x x - x x x 123--（二）填空题．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ．．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法．．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（σ2已知）的样本值，按给定的显著性水平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠，需选取统计量nx U /0σμ-=．．假设检验中的显著性水平α为事件u x >-||0μ（ 为临界值）发生的概率．（三）解答题．设对总体X 得到一个容量为 的样本值试分别计算样本均值x 和样本方差s 2．解： 6.336101101101=⨯==∑=i i x x878.29.2591)(110121012=⨯=--=∑=i ix x s．设总体X 的概率密度函数为f x x x (;)(),,θθθ=+<<⎧⎨⎩1010其它试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数θ． 解：提示教材第 页例矩估计：,121)1()(110∑⎰===++=+=ni i x n x dx x x X E θθθθxx --=112ˆθ 最大似然估计：θθθθθ)()1()1();,,,(21121n n i ni n x x x x x x x L +=+==0ln 1ln ,ln )1ln(ln 11=++=++=∑∑==ni i ni i x nd L d x n L θθθθ，1ln ˆ1--=∑=ni ixnθ．测两点之间的直线距离 次，测得距离的值为（单位： ）：测量值可以认为是服从正态分布N (,)μσ2的，求μ与σ2的估计值．并在⑴σ225=.；⑵σ2未知的情况下，分别求μ的置信度为 的置信区间．解： 11051ˆ51===∑=i i x x μ 875.1)(151ˆ5122=--==∑=i i x x s σ（ ）当σ225=.时，由 －α＝ ，975.021)(=-=Φαλ 查表得：96.1=λ故所求置信区间为：]4.111,6.108[],[=+-nx n x σλσλ（ ）当2σ未知时，用2s 替代2σ，查 ，得 776.2=λ 故所求置信区间为：]7.111,3.108[],[=+-ns x n s x λλ．设某产品的性能指标服从正态分布N (,)μσ2，从历史资料已知σ=4，抽查 个样品，求得均值为 ，取显著性水平α=005.，问原假设H 020:μ=是否成立． 解：237.0162.343|10/42017||/|||0=⨯=-=-=nx U σμ，由975.021)(=-=Φαλ ，查表得：96.1=λ因为 237.0||=U ，所以拒绝0H．某零件长度服从正态分布，过去的均值为 ，现换了新材料，从产品中随机抽取 个样品，测得的长度为（单位： ）：力源电机厂水泥漆页脚内容问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（α=005.）． 解：由已知条件可求得：0125.20=x 0671.02=s 1365.0259.0035.0|8/259.0200125.20||/|||0==-=-=n s x T μ 62.2)05.0,9()05.0,1(==-=t n t λ∵ ∴ 接受即用新材料做的零件平均长度没有变化。