考点4.6 临界与极值问题考点4.6.1 “放缩圆”方法解决极值问题1、圆的“放缩”当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v 大小或磁场的强弱B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r 随之变化．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件．如图所示，粒子进入长方形边界OABC 形成的临界情景为②和④.1. （多选）如图所示，左、右边界分别为PP ′、QQ ′的匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里.一个质量为m 、电荷量为q 的微观粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ ′射出，粒子入射速度v 0的最大值可能是( )A.Bqd mB.(2＋2)Bqd mC.(2－2)Bqd mD.2Bqd 2m2. (2016·全国卷Ⅲ，18)平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。
一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。
粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。
已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。
不计重力。
粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )A.mv 2qBB.3mv qBC.2mv qBD.4mv qB3. （多选）长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如下图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A 、使粒子的速度v <BqL 4mB 、使粒子的速度v >5BqL 4mC 、使粒子的速度v >BqL mD 、使粒子速度BqL 4m <v <5BqL 4m4. 如图所示，边长为L 的正方形ABCD 区域内存在磁感应强度方向垂直于纸面向里、大小为B 的匀强磁场，一质量为m 、带电荷量为－q的粒子从AB 边的中点处垂直于磁感应强度方向射入磁场，速度方向与AB 边的夹角为30°.若要求该粒子不从AD 边射出磁场，则其速度大小应满足( )A ．v ≤2qBL mB ．v ≥2qBL mC ．v ≤qBL mD ．v ≥qBL m5. 如图所示，条形区域AA ′、BB ′中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，AA ′、BB ′为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度为d .一束带正电的某种粒子从AA ′上的O 点以大小不同的速度沿着AA ′成60°角方向射入磁场，当粒子的速度小于某一值v 0时，粒子在磁场区域内的运动时间为定值t 0；当粒子速度为v 1时，刚好垂直边界BB ′射出磁场．不计粒子所受重力．求：(1) 粒子的比荷q m； (2) 带电粒子的速度v 0和v 1.6. 如图所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m ，带电荷量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行．(1) 图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？(2) 要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？7.如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C 的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：(1)两板间电压的最大值U m；(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；(3)粒子在磁场中运动的最长时间t m.8.如图所示，OP曲线的方程为：y=1－0.4 6.25-x(x,y单位均为m)，在OPM区域存在水平向右的匀强电场，场强大小E1=200N/C(设为I区)，PQ右边存在范围足够大的垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B=0.1T(设为Ⅱ区)，与x轴平行的刚上方(包括PN存在竖直向上的匀强电场，场强大小E2=100N／C(设为Ⅲ区)，PN的上方h=3.125m处有一足够长的紧靠y轴水平放置的荧光屏AB，OM的长度为a=6.25m。
今在曲线OP上同时由静止释放质量m=1.6×10-25 kg，电荷量e=1.6×10-19C的带正电的粒子2000个(在OP上按x均匀分布)。
不考虑粒子之间的相互作用，不计粒子重力，求：(1)粒子进入Ⅱ区的最大速度值；(2)粒子打在荧光屏上的亮线的长度和打在荧光屏上的粒子数；(3)粒子从出发到打到荧光屏上的最长时间。
考点4.6.2 “旋转圆”方法解决极值问题2．定圆“旋转”当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r是确定的．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边界磁场时的情景．【例题】如图所示，在0≤x≤3a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t＝0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0－180°范围内．已知沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界上P(3a，a)点离开磁场．求：⑴、粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；⑵、此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；⑶、从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间．9. （多选）如图所示，在0≤x ≤b 、0≤y ≤a 的长方形区域中有一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy 平面向外。
O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内的第一象限内。
已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T ，最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间为T 12，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为T 4。
不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则( )A ． 粒子射入磁场的速度大小v ＝2qBa mB ． 粒子圆周运动的半径r ＝2aC ． 长方形区域的边长满足关系b a ＝3＋1D ． 长方形区域的边长满足关系b a＝210. 如图所示，在屏MN 的上方有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P为屏上的一个小孔．PC 与MN 垂直．一群质量为m 、带电量为－q 的粒子(不计重力)，以相同的速率v ，从P 处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域．粒子入射方向在与磁场B 垂直的平面内，且散开在与PC 夹角为θ的范围内．则在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为( )A ． 2mv qB B. 2mv cos θqBB ． 2mv (1－sin θ)qB D. 2mv (1－cos θ)qB11. (多选)如图，一粒子发射源P 位于足够大绝缘板AB 的上方d 处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v 、电荷量为q 、质量为m 的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。
已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d ，则( BC )A ． 能打在板上的区域长度是2dB ． 能打在板上的区域长度是(3＋1)dC ． 同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为7πd 6vD ． 同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为πqd 6mv12. 如图所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S .某一时刻，粒子源S 向平行于纸面的各个方向发射出大量带正电荷的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场．已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T 6(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间为( )A.T 3B.T 2C.2T 3D.5T 313. （多选）如图所示，宽d = 2cm 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向内．现有一群带正电的粒子从O 点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r = 5cm ，则 （ ）A ． 右边界：-4cm ＜y ≤4cm 的范围内有粒子射出B ． 右边界：y ＞4cm 和y ＜-4cm 的范围内有粒子射出C ． 左边界：y ＞8cm 的范围内有粒子射出D ． 左边界：0＜y ≤8cm 的范围内有粒子射出14. 如图所示，半径为R 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点．大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同速率v 从P 点射入磁场．这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ 圆弧上，PQ 圆弧长等于磁场边界周长的13.不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为( ) A.3mv 2qR B.mv qR C.3mv qR D.23mv 3qR15. （多选）如图所示，O 点有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子，它们的速度大小相等、速度方向均在xOy 平面内．在直线x ＝a 与x ＝2a 之间存在垂直于xOy 平面向外的磁感应强度为B 的匀强磁场，与y 轴正方向成60°角发射的粒子恰好垂直于磁场右边界射出．不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．关于这些粒子的运动，下列说法正确的是( )．A ． 粒子的速度大小为2aBq mB 、粒子的速度大小为aBq mC 、与y 轴正方向成120°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长D 、与y 轴正方向成90°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长16. 如图所示，在矩形区域abcd 内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .在ad 边中点O 的粒子源，在t ＝0时刻垂直于磁场发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od 的夹角分布在0～180°范围内．已知沿Od 方向发射的粒子在t ＝t 0时刻刚好从磁场边界cd 上的P 点离开磁场，ab ＝1.5L ，bc ＝3L ，粒子在磁场中做圆周运动的半径R ＝L ，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求：(1) 粒子在磁场中的运动周期T ；(2) 粒子的比荷；(3) 粒子在磁场中运动的最长时间．17. 如图所示，在xOy 坐标系坐标原点O 处有一点状的放射源，它向xOy 平面内的x 轴上方各个方向发射α粒子，α粒子的速度大小均为v 0，在0<y <d 的区域内分布有指向y 轴正方向的匀强电场，场强大小为2032mv E qd ，其中q 与m 分别为α粒子的电量和质量；在d <y <2d 的区域内分布有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，mn 为电场和磁场的边界．ab 为一块很大的平面感光板垂直于xOy 平面且平行于x 轴，放置于y =2d 处，如图所示．观察发现此时恰好无粒子打到ab 板上．（不考虑α粒子的重力及粒子间的相互作用），求：（1） α粒子通过电场和磁场边界mn 时的速度大小及距y 轴的最大距离;（2） 磁感应强度B 的大小；（3） 将ab 板至少向下平移多大距离才能使所有的粒子均能打到板上？此时ab 板上被α粒子打中的区域的长度．考点4.6.3 最小磁场区域求解问题18.一带电粒子，质量为m、电荷量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第Ⅰ象限所示的区域(下图所示)．为了使该粒子能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计．19.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，有一个圆形区域的匀强磁场(图中未画出)，磁场方向垂直于xOy平面，O点为该圆形区域边界上的一点．现有一质量为m、带电荷量为＋q的带电粒子(不计重力)从O点以初速度v0沿x轴正方向进入磁场，已知粒子经过y轴上P点时速度方向与y轴正方向夹角为θ＝30°，OP＝L，求：(1)磁感应强度的大小和方向；(2)该圆形磁场区域的最小面积．20.如图所示，MN为绝缘板，CD为板上两个小孔，AO为CD的中垂线，在MN的下方有匀强磁场，方向垂直纸面向外（图中未画出），质量为m电荷量为q的粒子（不计重力）以某一速度从A点平行于MN的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场（电场方向指向O点），已知图中虚线圆弧的半径为R，其所在处场强大小为E，若离子恰好沿图中虚线做圆周运动后从小孔C垂直于MN进入下方磁场．（1）求粒子运动的速度大小；（2）粒子在磁场中运动，与MN板碰撞，碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，之后恰好从小孔D进入MN上方的一个三角形匀强磁场，从A点射出磁场，则三角形磁场区域最小面积为多少？MN上下两区域磁场的磁感应强度大小之比为多少？（3）粒子从A点出发后，第一次回到A点所经过的总时间为多少？21.电子对湮灭是指电子“e﹣”和正电子“e+”碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描（PET）及正子湮灭能谱学（PAS）的物理基础．如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且=2L，Q点在负y轴上某处．在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C 两点，=L，在第Ⅳ象限内有一未知的圆形区域（图中未画出），未知圆形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里．一束速度大小为v0的电子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出电场区域；另一束速度大小为的正电子束从Q点沿与y轴正向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，而后进入未知圆形磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向相反．已知正负电子质量均为m、电量均为e，电子的重力不计．求：（1）圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和第Ⅰ象限内匀强电场的场强E的大小；（2）电子子从A点运动到P点所用的时间；（3）Q点纵坐标及未知圆形磁场区域的最小面积S．22.如图所示的直角坐标系中，在直线x=－2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。