b
af(x)dxF(b)F(a)
也可写成 abf(x)dx [F(x)b a].
牛顿—莱布尼茨公式
表明 :一个连续函[a数 ,b]上 在的 区定 间积分 它的任一原函 [a,b]数 上在 的区 增 . 间 量
11
6、定积分的计算法
（1）换元法
abf(x)dx f[(t)](t)dt
换元公式
（2）分部积分法
5
3、存在定理 可积的两个充分条件：
定理1 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 连 续 时 ，
称 f( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 可 积 .
定理2 设 函 数 f(x ) 在 区 间 [ a ,b ]上 有 界 ，
且 只 有 有 限 个 间 断 点 ， 则 f(x )在 区 间 [a ,b ]上 可 积 .
7
性质4
b
b
a1d x ad x ba
性质5 如 果 在 区 间 [ a ,b ] 上 f ( x ) 0 ，
则 a bf(x )d x 0 (ab )
推论：（1） 如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 f ( x ) g ( x ) ，
则 a b f ( x ) d x a b g ( x ) dx ( a b )
3
2、定积分的定义
定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a,b]中 任 意
若 干 若 干 个 分 点
a x x x x x b
012
n 1 n
把 区 间 [ a , b ] 分 成 n 个 小 区 间 ，
[ x 0 , x 1 ] [ x 1 , , x 2 ] [ x , n 1 , x n ],
一、主要内容
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理 定积分 广义积分
的定 性积 质分
牛顿-莱布尼茨公式
b
af(x)d xF (b)F (a)
计 算 法
定 积 分 的
1
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线与 两 条 直 线 xa、 x b 所 围 成 .
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
14
二、典型例题
例1 求2 1sin2xdx. 0
解 原 式2six ncoxsdx 0
0 4(cx o ssixn )d x 2(sx i n co x)d sx
4
222.
则 在 积 分 区 间 [ a ,b ] 上 至 少 存 在 一 个 点 ，
使 a b f(x ) d x f()b ( a ) (a b )
积分中值公式
9
5、牛顿—莱布尼茨公式
定理1 如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数
x
(x)a
f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导数
abudv[u]vb aabvdu
分部积分公式
12
７、广义积分
(1)无穷限的广义积分
f(x)dxlimbf(x)dx
a
ba
b f(x)dxlimbf(x)dx
aa
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
各 小 区 间 的 长 度 依 次 为 x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ，
在 各 小 区 间 上 任 取 一 点 i （ i x i） ，
4
作 乘 积 f ( i ) x i ( i 1 , 2 , ) 并 作 和 S n f(i)xi，
i1
记 maxx1{,x2, ,xn}， 如 果 不 论 对 [a,b ]
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(2)无界函数的广义积分
b
b
a
f
(x)dxlim 0 a
f(x)dx
b
b
a f( x ) d l x 0 ia m f( x ) dx
b
c
b
a f ( x ) d a x f ( x ) d c x f ( x ) dx
l i0a c m f(x )d x l i0c b m f(x )dx
n
Alim 0i1
f(i)xi
2
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物 体作 直线运 动， 已知速 度 vv(t)是时间 间隔 [T1,T2]上 t 的一个连续函数，且 v(t)0，求
物 体 在 这 段 时 间 内 所 经 过 的 路 程S.
n
slim 0i1v(i)ti
方法:分割、求和、取极限.
怎样的分法， 也 不 论 在 小 区 间 [ x i 1 ,x i] 上 点 i怎 样
的取法，只 要 当 0 时 ， 和 S总 趋 于 确 定 的 极 限 I，
我 们 称 这 个 极 限 I 为 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 ，
记为
b
n
af(x )d x I l i0i m 1f(i) x i.
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例2 求2
sinx
dx.
0 sinxcoxs
（2） a bf(x)d xa bf(x)dx(ab)
8
性质6 设 M 及 m 分 别 是 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ]
上 的 最 大 值 及 最 小 值 ，
则 m (b a ) a b f(x ) d x M (b a ).
性质7 (定积分中值定理)
如 果 函 数 f(x )在 闭 区 间 [a ,b ]上 连 续 ，
6
4、定积分的性质
性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) dx 性质2 a b k(x f ) d x k a b f(x ) dx k (为 常 数 )
性质3 假 设 acb
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
是 (x)ddxax f(t)dt f(x) (axb)
定理2（原函数存在定理）如果f(x) 在 [a,b] 上
连续，则积分上限的函数(x)ax f(t)dt就是
f(x)在[a,b]上的一个原函数.
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定理 3（微积分基本公式） 如 果 F(x)是 连 续 函 数 f(x)在 区 间 [a,b]上 的 一 个 原 函 数 ， 则