1 ， x (0,1] x2
⑴若函数 f x 在 x (0,1] 上是增函数，求 a 的取值范围 ⑵求 f x 在 x (0,1] 上的最大值 答案：⑴ a 1 ⑵ a 1 时 f x max 2a 1 【练习5】
a 1 时， f x max 3 3 a 2

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高一数学——恒成立问题
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2.2 已知单调性， 求参数取值涉及的恒成立问题 （涉及放缩技巧）
【练习1】 已知函数 f x x 2
a 求 a 的取值范围 x 0, a R 在区间 [2, ) 上是增函数， x
答案： a 16 【练习2】 【2011 江西高考】已知函数 f x x


D． ， ∞
3 2

3 分类讨论法
【练习1】 【1】 【2】 【3】 已知函数 f ( x) x ax 3 a ，
2
在 R 上 f ( x) 0 恒成立，求 a 的取值范围。 若 x 2, 2 时， f ( x) 0 恒成立，求 a 的取值范围。 若 x 2, 2 时， f ( x) 2 恒成立，求 a 的取值范围。
分析：思路 1、通过化归最值，直接求函数 f ( x) x 2 2ax 1 的最小值解决，即 f min ( x) 0
x2 1 1 1 x2 1 ( x ) 解决，即 a ( ) min 思路 2、通过分离变量，转化到 a 2x 2 x 2x
【练习4】
设 f ( x) x 2mx 2 ，当 x [1,) 时， f ( x) m 恒成立，求实数 m 的取值
2
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高一数学——恒成立问题
范围。
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解：设 F ( x) x 2mx 2 m ，则当 x [1,) 时， F ( x) 0 恒成立
2
当 4(m 1)(m 2) 0即 2 m 1时， F ( x) 0 显然成立； 当 0 时，如图， F ( x) 0 恒成立的充要条件为：
2.1 二次函数（限制定义域）的恒成立问题
【练习1】 【练习2】 是 【练习3】 范围。 【练习4】 【练习5】 围。 解： 将问题转化为 a 已知函数 f ( x) x ax 1 0 对于一切 x (0, ] 成立，求 a 的取值范围。
2
当 x 1, 2 时，不等式 x 2 mx 4 0 恒成立，则 m 的取值范围是
2
a 2 4(1 a ) 0 f (2) 0 5 a 2 2 2 ⑵ f ( 2) 0 a 2或 a 2 2 2
综上所述， 5 a 2 2 2 。 解法二： （利用根的分布情况知识） ⑴当
2
x a ，若 f x 在 2,3 上单调递减，求
参数 a 的取值范围 【练习3】 已知函数 f x log 1 x 8
2
a 在 1, 上单调递减，求 a 的取值范围 x
答案： 1 a 9 【练习4】 已知函数 f x 2ax
2
【例2】 若关于 x 的不等式 x ax a 0 的解集为 (,) ，求实数 a 的取值范围；
2
【练习1】
若函数 y
mx 2 6mx m 8 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围。
2 函数 f x a 恒成立， f x min a （分离参数法）
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2 2
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略解： f ( x) x ax 3 a 2 0 ，即 f ( x) x ax 1 a 0 在 2, 2 上成立。 ⑴ a 4 1 a 0 2 2 2 a 2 2 2
【练习8】
2
3 3 或m 2 2
已知函数 g x ax 2ax 1 b
a 0, b 1 在区间 2,3 上最大值是 4，最小
值是 1.设函数 f x
g x x
⑴求 a, b 的值和 f x 的解析式 ⑵若不等式 f 2 x k 2 x 0 在 x 1,1 时恒成立，求 k 的取值范围
1 3 2 3 4m2 2 1 在 x [ , ) 上恒成立。 2 m x x 2
当 x
3 3 2 5 1 5 4m 2 ， 即 时 函 数 y 2 1 取 得 最 小 值 ， 所 以 2 2 3 x x m 3
(3m2 1)(4m2 3) 0 ，解得 m
2
（2）设 x2 x1 2 ， f x1 f x2 x1
2
a a 2 x2 x1 x2

x1 x2 x1 x2 x1 x2 a x1 x2
，
由 x2 xΒιβλιοθήκη 2 得 x1 x2 x1 x2 16 ， x1 x2 0, x1 x2 0 要使 f x 在区间 2, 是增函数只需 f x1 f x2 0 ， 即 x1 x2 x1 x2 a 0 恒成立，则 a 16 。
2
（1） 对于任意的实数 x1 , x 2 ，比较 [ f ( x1 ) f ( x 2 )] 与 f ( （2） 若 x 0,1时，有 | f ( x) | 1 ，求实数 a 的取值范围。 【练习3】
1 2
x1 x 2 ) 的大小； 2
已知不等式 x 2 2ax 1 0 对 x [1,2] 恒成立， 其中 a 0 ． 求实数 a 的取值范围．
6 a 2
又
4 a 4
⑶当
4 a 2
a 2 ，即 a 4 时， g (a) f (2) 7 a 0 a 7 又 a 4 7 a 4 2
总上所述， 7 a 2 。 【3】 解法一：分析：题目中要证明 f ( x) a 在 2, 2 上恒成立，若把 a 移到等号的左边，则 把原题转化成左边二次函数在区间 2, 2 时恒大于等于 0 的问题。
分析： y f x 的函数图像都在 x 轴上方，即与 x 轴没有交点。 【1】 略解： a 4 3 a a 4a 12 0 6 a 2
2 2
【2】
a a2 f ( x) x a 3 ，令 f ( x) 在 2, 2 上的最小值为 g (a) 。 2 4
2 3

x f 4m2 f ( x) f ( x 1) 4 f (m) 恒成立，则实数 m 的取值范围是 m
【答案】D 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。 依据题意得
.
3 x2 1 4m2 ( x 2 1) ( x 1)2 1 4(m2 1) 在 x [ , ) 上 恒 定 成 立 ， 即 2 2 m
由 g ( x)
∴ a 0 即 a 的取值范围为 (,0) 。 已知函数 f x lg x
【练习6】

a 若对任意 x 2, 恒有 f x 0 ， 试确定 a 的 2 ， x
取值范围。 【练习7】
2 【 2010 天 津 理 数 】 （ 16 ） 设 函 数 f ( x) x 1 ， 对 任 意 x , ，
，
－2 2 2 a 2 2 2 4 a 2 2 2
⑶当
a 2 ，即 a 4 时， g (a) f (2) 7 a 2 ， a 5 2
5 a 4
综上所述 5 a 2 2 2 。 此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定。 【练习2】 已知函数 f ( x) ax x ，( a R且a 0)
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【练习6】
x x 2
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∞ 上是增函数，那么 如果函数 f ( x) a (a 3a 1)(a 0且a 1) 在区间 0，
） C． 1 ，3
实数 a 的取值范围是（ A． 0，

2 3
B．
3 ， 1 3
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1 函数 f x 0 恒成立 f x min 0
1.1 二次函数（定义域无限制）的恒成立问题
对于一元二次函数 f ( x) ax bx c 0(a 0, x R) 有：
2
（1） f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 ； （2） f ( x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 【例1】 若不等式 (m 1) x (m 1) x 2 0 的解集是 R ，求 m 的范围。
2
.
【2006 江西】对于一切实数，不等式 x a x 1 0 恒成立，则实数 a 的取值范围
若不等式 x2 2mx 2m 1 0 对满足 0 x 1 的所有实数 x 都成立， 求 m 的取值
1 2
已知函数 f ( x) ax 4 x x , x (0,4] 时 f ( x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范
2
4x x 2 对 x (0,4] 恒成立。 x
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令 g ( x)
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4x x 2 ，则 a g ( x) min x