江苏省扬州中学2020-2021学年度第二学期期中考试高 一 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑。

1．若直线l 经过坐标原点和(3,3)-，则它的倾斜角是（ ） A ．135︒B ．45︒C ．45︒或135︒D ．45-︒2．22cos 15sin 15sin15cos15︒︒︒︒-+的值等于（ ）A ．34B ．54C ．14+ D ．44+ 3．过点A （1，2）作圆x 2+（y ﹣1）2＝1的切线，则切线方程是（ ） A ．x ＝1B ．y ＝2C ．x ＝2或y ＝1D ．x ＝1或y ＝24．平面αI 平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，C l ∉，AB l R ⋂=，过A ，B ，C 确定的平面记为γ，则βγ⋂是（ ）A ．直线ACB ．直线CRC ．直线BCD ．以上都不对5．已知α、β为锐角，若3cos 5α=，()1tan 3βα-=，则tan β=（ ） A ．139B ．913 C ．3D ．136．圆2240x x y -+=与圆22430x y x +++=的公切线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin :sin :sin 3:7:8A B C =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定8．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则12m n+的最小值为（ ）A ．3B ．3+C ．6D ．3+ 9．已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4) 10．在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线3210x y +-=相切，则圆C 面积的最小值（ ） A ．52πB ．54πC ．56πD ．58π11．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，若ABD ∆是等边三角形，且AC =则ADC ∆的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角B 为锐角，若4cos c b A =，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置． 13．下列说法中正确的有 个．①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②一个平行四边形确定一个平面；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；④已知两个不同的平面α和β，若,A A αβ∈∈，且l αβ=I ，则点A 在直线l 上．14．在ABC ∆中，已知2,45a b B ===︒，则A =__________．15．在ABC ∆中，60BAC ∠=o，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，3AB AC =，则ACAD=_____．16．在平面四边形OPMN 中，90PON ∠=o，3OP =,1ON =．若4MO MP ⋅=u u u u r u u u r，则35MP MN +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分：55''+）已知两条直线1:240l x y -+=，2:320l x y +-=相交于P 点.（1）求交点P 的坐标；（2）求过点P 且与直线30x y -+=垂直的直线l 的方程．18．（本小题满分12分：66''+）已知函数()3sin cos f x x x =-，x ∈R ．（1）当[0,]x π∈时，求函数()f x 的值域； （2）若α[0,]2π∈，10613f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．19．（本小题满分12分：66''+）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、1CC 、11C D 的中点．（1）判断直线EF 与GH 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线1A D 与EF 所成的角的大小．20．（本小题满分12分：57''+）如图，在直角ACB △中，2ACB π∠=，3CAB π∠=，2AC =，点M 在线段AB 上．（1）若3sin 3CMA ∠=，求CM 的长； （2）点N 是线段CB 上一点，7MN =，且12BMN ACB S S =△△，求BM BN +的值．21．(本小题满分12分：57''+)如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个三角形PMN ，使得PM PN =，MN BC ⊥． (1)设30MOD ∠=o ，求三角形铁皮PMN 的面积； (2)求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值．22．（本小题满分12分：444'''++）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线xy 3=上． （1）求圆M 面积的最小值； （2）设直线433:+-=x y l 与圆M 交于不同的两点C D 、，且||||OD OC =，求圆M 的方程； （3）设直线3=y 与（2）中所求圆M 交于点E 、F ，P 为直线5=x 上的动点，直线PE ，PF 与圆M 的另一个交点分别为G ，H ，求证：直线GH 过定点．答案1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8． D 9．C 10．A 11．A 12．B13．2 14．30° 15．9 16．517．解：（1）由240320x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：02x y =⎧⎨=⎩， ()0,2P ∴； （2）Q 直线30x y -+=斜率为1，∴直线l 斜率1k =-.():210l y x ∴-=--，即：20x y +-=.18．解：（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当[0,]x π∈时，5[,]666x πππ-∈-，1sin()[,1]62x π-∈-，2sin()[1,2]6x π-∈-，所以函数()f x 的值域为[1,2]-．（2）102sin 613f παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即5sin 13α=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，故12cos 13α=； 512120sin 22sin cos 21313169ααα==⨯⨯=． 19．解：（1）取CD 的中点I∵E 、F 、I 分别是正方形ABCD 中AB 、BC 、CD 的中点∴12CF EI ∥∴在平面ABCD 中，延长EF 与DC 必交于C 右侧一点P ，且PC CI = 同理，在平面11CC D D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一点Q ，且QC CI = ∴P 与Q 重合进而，直线EF 与GH 相交方法二：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、H 分别是AB 、11C D 的中点∴112EB CD HC ∥∥ ∴1EBC H 是平行四边形 ∴1EH BC ∥又∵F 、G 分别是BC 、1CC 的中点∴112FG BC ∥∴∥EH FG ，EH FG ≠∴EF 、GH 是梯形EFGH 的两腰 ∴直线EF 与GH 相交（2）解：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC ∥∴11ACC A 是平行四边形 ∴11//AC A C又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点∴//EF AC ∴11EF AC P∴1A D 与EF 所成的角即为1A D 与11A C 所成的角（或：1A D 与EF 所成的角即为11DAC ∠及其补角中的较小角）① 又∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC D ∆为等边三角形 ∴1160DAC ∠=︒②∴由①②得直线1A D 与EF 所成的角为60︒20．（1）在CAM V 中，已知3CAM π∠=，sin CMA ∠=2AC =，由正弦定理，得sin sin CM AC CAM CMA=∠∠，解得sin233sin AC CM CMA π⋅⨯===∠． （2）因为12BMN ACB S S =△△，所以111sin 22622BM BN π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯BM BN ⋅=在BMN ∆中，由余弦定理得，()22222cos2162MN BM BN BM BN BM BN BM BN π⎛=+-⋅=+-⋅⋅+ ⎝⎭，即()2221BM BN ⎛=+-⨯+ ⎝⎭，()(22194BM BN +=+=+，故4BM BN +=+21．（1）由题意知11121222OM AD BC ===⨯=，3sin sin 1sin 3012MN OM MOD CD OM MOD AB ∴=∠+=∠+=⨯+=o ，cos 11cos301BN OA OM MOD =+∠=+⨯=+=o ，113222PMN S MN BN ∆∴=⋅=⨯=，即三角形铁皮PMN 的面积为； （2）（2）设MOD x ∠=，则0x π<<，因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以只需考察02x π<≤。

sin sin 1MN OM x CD x =+=+，cos cos 1BN OM x OA x =+=+，()()()111sin 1cos 1sin cos sin cos 1222PMN S MN BN x x x x x x ∆∴=⋅=+⋅+=+++令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于02x π<≤，所以3444x πππ<+≤，则有sin 124x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1t ≤≤ 且()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，所以21sin cos 2t x x -=，故()()222111112112244PMNt S t t t t ∆⎛⎫-=++=++=+ ⎪⎝⎭，而函数()2114y t =+在区间⎡⎣上单调递增，故当t =时，y取最大值，即)2max 13144y +==， 即剪下的铁皮三角形PMN22．解：（Ⅰ）由题意可设圆M的圆心为(x ，≥=2x = 所以圆M的面积最小值为． （Ⅱ）由||||OD OC =，知l OM ⊥．所以332==tk OM ，解得1±=t ．当1=t 时，圆心M )3,1(到直线433:+-=x y l 的距离)13(2-=d 小于半径，符合题意；当1-=t 时，圆心M )3,1(--到直线433:+-=x y l 的距离)13(2+=d 大于半径，不符合题意．所以，所求圆M 的方程为4)3()1(22=-+-y x ．（Ⅲ）设),5(0y P ，),(11y x G ，),(22y x H ，又知)3,1(-E ，)3,3(F ，所以GE PE k x y y k =+-=-=1363110，FH PF k x y y k =--=-=3323220． 因为PF PEk k =3，所以22222121)3()3()1()3(9--=+-⨯x y x y ．将2121)1(4)3(--=-x y ，2222)1(4)3(--=-x y 代入上式， 整理得020)(722121=++-x x x x ． ①设直线GH 的方程为b kx y +=，代入4)3()1(22=-+-y x ， 整理得032)2322()1(222=-+--++b b x k kb x k ． 所以22112322k k kb x x +---=+，2221132kb b x x +-=⋅． 代入①式，并整理得033710)327(22=+-+-+b k b k b ， 即0)35)(32(=-+-+k b k b ， 解得k b 23-=或k b 53-=． 当k b 23-=时，直线GH 的方程为3)2(+-=x k y ，过定点)3,2(； 当k b 53-=时，直线GH 的方程为3)5(+-=x k y ，过定点)3,5( 第二种情况不合题意（G 、H 只可能在直径的异侧），舍去1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。