一:有关周期性的讨论
在已知条件()()f a x f b x +=-或
()()f x a f x b +=-中，
(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2
b a x +=。

(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。

设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立
周期性规律 对称性规律
(1))()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ (1))()(x a f x a f -=+ a x =⇒
(2))()(a x f x f += a T =⇒ (2))()(x b f x a f -=+ 2
b a x +=
⇒ (3))()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2
(b a +⇒ (5))(1)(x f a x f -
=+ a T 2=⇒ (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ (6)1
)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ (7) 1()()1()
f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ (8) 1()()1()f x f x a f x -+=-
+ a T 4=⇒ (9) )
(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒
(11) 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=2
(12) 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=2
(13) 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期
a b T -=4
(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2a
(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4a
(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2
T )=0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于 两类易混淆的函数问题：对称性与周期性
例1. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （5+x ）= f （5－x ），问：y = f （x ）是周期函数吗？
它的图像是不是轴对称图形？
例2. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （x+5）= f （x －5），问：y = f （x ）是周期函数吗？
它的图像是不是轴对称图形？
定理1：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足)()(x a f x a f -=+，那么y = f （x ）的图像
关于直线x a =对称。

证明：设点()
P x y 00，是y = f （x ）的图像上任一点，点P 关于直线x =a 的对称点为Q ，易知，点Q 的坐标为()200a x y -，。

因为点()P x y 00，在y = f （x ）的图像上，所以f x y ()00= 于是()()[]()[]()000002y x f x a a f x a a f x a f ==--=-+=-
所以点()Q a x y 200-，也在y = f （x ）的图像上。

由P 点的任意性知，y = f （x ）的图像关于直线x =a 对称。

定理2：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （a +x ）= f （b －x ），那么y = f （x ）的图像关于直线x a b =+2
的对称。

定理3：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （x +a ）= f （x －a ），那么y = f （x ）是以2a 为
周期的周期函数。

证明：令x a x -='，则x x a x a x a =++=+''，2
代入已知条件()()f x a f x a +=-
得：()()f x a f x ''++2
根据周期函数的定义知，y = f （x ）是以2a 为周期的周期函数。

定理4：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足()()f x a f x b +=-，那么y = f （x ）是以a b
+为周期的周期函数。