数学“存在性”问题的解题策略存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。

【典型例题】例1. 223(1)9200x x m x m m -++-+=若关于的一元二次方程有两个实数根，390cos 5a b c ABC A B C C B ==又已知、、分别是△的∠、∠、∠的对边，∠°，且， 3b a m Rt -=，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于 ABC c m △的斜边的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明理由。

分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m ，满足的条件有m 是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 斜边c 的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住Rt △ABC 的斜边为c 这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。

解：在△中，∠°，∵Rt ABC C B ==9035cos ∴设a=3k ，c=5k ，则由勾股定理有b=4k ， 33343==-=-k k k a b ∴，∴，∵ ∴，，a b c ===91215设一元二次方程的两个实数根为，x m x m m x x 2212319200-++-+=() 则有：，x x m x x m m 1212231920+=+=-+()∴x x x x x x m m m 122212212222312920+=+-=+--+()[()]()=+-736312m m 由，x x c c 1222215+==有，即73631225736256022m m m m +-=+-= ∴，m m 124647==-∵不是整数，应舍去，m =-647当时，m =>40∆∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 的斜边c 的平方。

例2. 22ky kx y P =+-如图：已知在同一坐标系中，直线与轴交于点，抛物2122(1)4(0)(0)y x k x k x A x B x C =-++线与轴交于，，，两点，是抛物线的顶点（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示） （2）若点A 在点B 的左侧，且x 1·x 2<0 ①当k 取何值时，直线通过点B ；②是否存在实数k ，使S △ABP =S △ABC ？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。

分析：本题存在探究性体现在第（2）问的后半部分。

认真观察图形，要使S △ABP =S △ABC ，由于AB=AB ，因此，只需两个三角形同底上的高相等就可以。

OP 显然是△ABP 的高线，而△ABC 的高线，需由C 作AB 的垂线段，在两个高的长中含有字母k ，就不难找到满足条件的k 值。

解：()()()11044414122∵，∴×最小值a y k k k =>=-+=--()()()()2214222由，得：y x k x k y x x k =-++=-- ①当时，，y x x k ===02212 ∵点A 在点B 左侧，∴，又∵，∴，x x x x x x 121212000<<<> ∴A （2k ，0），B （2，0）， 将，代入直线B y kx k ()2022=+- 得：，∴222043k k k +-==- ∴当时，直线过点k B =-43（2）过点C 作CD ⊥AB 于点D 则CD k k =--=-|()|()1122∵直线交轴于，，y kx k y P k =+--22022() ∴OP k =-22若，则··△△S S AB OP AB CD ABP ABC ==1212∴OP=CD∴2212-=-kk () 解得：，k k 12122=-=由图象知，，∴取k k <=-012∴当时，△△k S S ABP ABC =-=12此时，抛物线解析式为：y x x =--22例3. 已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F 。

（1）当点P 在线段AB 上时，求证：PA ·PB=PE ·PF（2）当点P 为线段BA 延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。

()cos 34213若，∠，求⊙的半径AB EBA O ==分析：第（1）问是一个常规性等积式的证明问题，按一般思路，需要把它转化为比例式，再转化为证明两个三角形相似的问题，同学们不会有太大的困难。

难点在于让P 点沿BA 运动到圆外时，探究是否有共同的结论，符合什么共同的规律。

首先需要按题意画出图形，并沿用原来的思路、方法去探索，看可否解决。

第（3）问，从题意出发，由条件∠，欲求⊙的半径，启发我们作出直径为辅助线，使隐性的cos EBA O AH =13条件和结论显现出来。

证明：（1）（如图所示）∵BT 切⊙O 于B ，∴∠EBA=∠C ， ∵EF ∥BC ，∴∠AFP=∠C ∠AFP=∠EBA 又∵∠APF=∠EPB ∴△PFA ∽△PBE ∴PA PE PFPB=∴PA ·PB=PE ·PF （2）（如图所示）当P 为BA 延长线上一点时，第（1）问的结论仍成立。

∵BT 切⊙O 于点B ， ∴∠EBA=∠C∵EP ∥BC ，∴∠PFA=∠C ∴∠EBA=∠PFA 又∵∠EPA=∠BPE ∴△PFA ∽△PBE ∴PF PB PAPE=∴PA ·PB=PE ·PF（3）作直径AH ，连结BH ，∴∠ABH=90°， ∵BT 切⊙O 于B ，∴∠EBA=∠AHB ∵∠，∴∠cos cos EBA AHB ==1313∵∠∠sin cos 221AHB AHB += 又∵∠AHB 为锐角 ∴∠sin AHB =223在△中，∵∠，Rt ABH AHB ABAHAB sin ==42 ∴∠，AH ABAHB==sin 6∴⊙O 的半径为3。

例4. 已知二次函数y mx m x m =+-->2330()()（1）求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点；（2）这条抛物线与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），与y 轴交于点C ，且AB=4，⊙M 过A 、B 、C 三点，求扇形MAC 的面积S 。

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使△PBD （PD ⊥x 轴，垂足为D ）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

分析：本题的难点是第（3）个问题。

我们应先假设在抛物线上存在这样的点P ，然后由已知条件（面积关系）建立方程，如果方程有解，则点P 存在；如果方程无解，则这样的点P 不存在，在解题中还要注意面积比为1：2，应分别进行讨论。

解：()()()()131230022∵∆=-+=+>>m m m m ∴它的图象与x 轴必有两个不同的交点。

()()()()233312y mx m x mx x =+--=-+ 令，则，，，y A x B x =00012()() ∵，x x m 120<>∴，x mx 2131==- ∴，，，A B m()()-103∵AB=4，OA=1， ∴，∴，∴，∴，OB mm B ===333130() ∴y x x =--223∵C （0，－3），∴OC=OB ，∴∠ABC=45°∴∠AMC=90°，设M （1，b ），由MA=MC ，得：()()11132222++=++b b∴b=－1，∴M （1，－1） ∴MA =++-=()()111522∴·扇形S MAC ==14542ππMA （3）设在抛物线上存在这样的点P （x ，y ），则过B （3，0），C （0，－3）的直线BC 的解析式为：y x BC PD E =-3，设与交于点①当S △PBE ：S △BED =2：1时， PE=2DE ，∴PD=3DEPD 的长是P 点纵坐标的相反数，DE 的长是E 点纵坐标的相反数，且P 、E 两点横坐标相同∴，抛直线PD y x x DE y x =-=-++=-=-+2233 ∴-++=-+x x x 22333()解得：，不合题意，舍去x x 1323==() ∴P （2，－3）②当S △PBE ：S △BED =1：2时，PE DE DP DE ==1232，∴ ∴-++=-+x x x 223323()解得：，不合题意，舍去x x 12123==()∴，P ()12154-∴抛物线上存在符合题意的点，或，P P ()()2312154--例5. 如图：二次函数的图象与轴相交于、两点，点在原y x bx c x A B A =++2点左边，点在原点右边，点，在抛物线上，，∠B P m AB PAO ()tan 1225==（1）求m 的值；（2）求二次函数的解析式；（3）在x 轴下方的抛物线上有一动点D ，是否存在点D ，使△DAO 的面积等于△PAO 的面积？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由。

解：（1）作PH ⊥x 轴于H ，在Rt △PAH 中∵∠tan PAO PH AH ==25∵，∴PH m AH m ==52∵P （1，m ）在抛物线上，m=1+b+c ， 设，，，，∵A x B x AB ()()12002= ∴||x x 212-=∴()x x x x 1221242+-= 令，得：y x bx c =++=002∴，，∴x x b x x c b c 1212242+=-=-=∵±±x b b c b =--=-24222且，∴，x x x b x b 12122222<=--=-+ ∵OH=1，∴AH －AO=1∵，AH m AO x b ==-=+52221 ∴52221m b -+=由：得：m b c m b b c m b c =++-+=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪===-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪1522214224254521252 b =-4()舍去 ∴m =2425()24521252y x x =+- （3）假设在x 轴下方的抛物线上存在点D （x 0，y 0）， 使，则有：△△S S DAO PAO = S AO y S AO PH DAO PAO △△·，·==12120||||||||∴，||||y PH m 02425=== ∴，代入，得：y y x x 0002024*******=-=-- x x x x 020124521524253515--=-=-=-，解得：，∴满足条件的点有两个： D D ()()----352425152425，或， 例6. 如图，在平面直角坐标系O —XY 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 和B ，且12a+5c=0。