x2 y2 x y 2 2 , ( x, y ) (0, 0) 求 f yx (0, 0) . 例 6. 设 f ( x, y ) x y 0, ( x, y ) (0, 0) f ( x , y ) f ( x , 0) x2 y2 解：f y ( x , 0) lim x. lim x 2 2 y 0 y y 0 x y d f y ( x ,0) f yx (0, 0) 1 . 可见 f x y 和 f y x 未必相等. dx
第 14 讲
多元函数的偏导数和全微分
一. 多元连续函数的性质
多元连续函数具有类似一元连续函数的性质。 1. 多元连续函数作有限次加、减、乘、除（分母不 为零）及复合运算后所得函数仍然连续。 2. 有界闭区域上的连续函数有最大值和最小值。 3. 有界闭区域上的连续函数能取得介于最大值和最 小值间的任何值。
三. 高阶偏导数
定义 3. 多元函数 f 的偏导数的偏导数称为 f 的二阶 二元函数 f ( x, y) 的二阶偏导数有四种： 偏导数。
fx fx 2f 2f fx y , fx x 2 , x y x y x fy fy 2f 2f fy x , fy y . 2 x y x y y 其中 f x y 和 f y x 称为混合偏导数。
定义2. 设函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内任一点处都存在 对 x ( 或 y ) 的偏导数, 则可得 f ( x, y ) 对 x ( 或 y ) 的 偏导函数（简称偏导数）, 记作 f x ( x, y ) ; z x . f ( x , y ) x 3 2 x 2 y y 2 , 求 f y , f x (1, 0). 例 2. 设 解： x 视为常数， y 求导得 f y 2 x 2 2 y . 将 对 将 y 视为常数， x 求导得 f x 3 x 2 4 x y . 对
x0
定理： f x y 和 f y x 都在点 ( x0 , y0 ) 处连续,则 若
f x y ( x 0 , y0 ) f y x ( x 0 , y0 ) .
四. 偏导数和可微性
定义 4. 设函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域 U ( P0 ) 内有定义。 若对任意 P ( x0 x, y0 y) U ( P0 ) , 函数 在点 P0 处的全增量 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 可以表示为 z A x B y o( ) , 其中A, B 是只与 P0 有关的常数， ( x )2 ( y )2 , 则称 f ( x, y) 在 P0 处可微。 A x B y 为 f ( x, y) 在 P0 处的全微分， 称 记作 d z P A x B y .
z y x ( z y ) x 2e 2 x y . z yxx ( z yx ) x 4e 2 x y .
x2 y2 f ( x , y ) f (0, y ) lim y 2 解：f x (0, y) lim y. 2 x 0 x 0 x x y d f x (0, y ) f xy (0, 0) 1. dy y0
类似可得 f y ( x0 , y0 ) B . 因此有 定理： 若函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微, 则在 P0 存 在一阶偏导数, 且 d z P0 f x ( P0 ) x f y ( P0 ) y . 上式也习惯地写成 d z P0 f x ( P0 ) d x f y ( P0 ) d y .
当 0 时, 上式右端趋于 0 , 即函数在该点连续。 可微 各偏导数存在 连续
f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y o( ) .
五. 连续、可微与偏导数存在之间的关系
xy 2 2, 函数 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0) ( x , y ) (0, 0)
例 7. 求 z sin( x y) 在点 (0, 0) 处的全微分。 z x ( 0, 0 ) 1 , 解： z x cos(x y) ,
z y cos( x y
因此 d z
( 0, 0 )
d xd y.
例 8. 求 f ( x, y ) x y 在点 (0, 0) 处的偏导数, 并讨论 f 在该点的可微性。
f x (1, 0) 3 . u 2 z 练习. 设 u( x , y, z ) sin( x y e ), 求 y , uz (0, 1, 0). u 答： 2 y cos( x y 2 e z ), uz (0, 1, 0) 1. y
x ln( x 2 y 2 ) , ( x , y ) (0, 0) 求 f y ( x, y) . 例 3. 设 f ( x , y ) 0, ( x , y ) (0, 0) 2x y 解：若 ( x, y) (0, 0) , 则 f y ( x , y ) 2 2 , x y 若 ( x, y) (0, 0) , 则 f (0, y ) f (0,0) f y (0, 0) lim 0, y 0 y 2xy 2 2 , ( x , y ) (0, 0) 因此 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0)
类似可定义更高阶偏导数。
z e 2 x y , 求 z x y , z y x , z yxx . 例 4. 设 2x y , z x y ( z x ) y 2e 2 x y . 解：z x 2e 2 x y , z y e
x2 y2 x y 2 2 , ( x, y ) (0, 0) 求 f (0, 0) . 例 5. 设 f ( x, y ) x y xy 0, ( x, y ) (0, 0)
f . 此偏导数也记作 x ( x 0 , y0 )
类似可定义关于y 的偏导数.
sin( x 3 2 y 3 ) , ( x , y ) (0, 0) 2 2 求 f x (0, 0) . 例 1. 设 f ( x, y ) x y 0 , ( x , y ) (0, 0) sin x 3 , x0 f ( x, 0 ) x 2 解： 0, x 0. 2 3 f ( x ,0) f (0,0) (sin x ) x 1. lim f x (0, 0) lim x 0 x 0 x x 类似可求 f y (0, 0) 2 .
二. 多元函数的偏导数
定义 1. 设函数 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定 义。若一元函数 f ( x, y0 ) 在 x x0 处可导, 则称此导 数为 f ( x, y) 在点 P0 处关于x 的偏导数, 记作 f x ( x0 , y0 ) .
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) 即有 f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) lim . x x0 x x0
练习. 考虑
1 2 2 ( x y ) sin 2 2 , ( x , y ) (0, 0) f ( x, y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0)
在原点的可微性及偏导数的连续性。 答：可微，偏导数存在但不连续。
函数在一点处可微，则在该点处偏导数一定存在， 反之不然。 定理： 若函数 f 在点 P0 的某邻域内存在一阶偏导数, 且偏导数在 P0 处连续, 则 f 在 P0 可微。 上述关于偏导数、可微的概念和结论也可以推广到 n 元函数。 n 元函数 z f ( x1 , x2 , xn ) 在点 ( x1 , x2 , xn ) 处的全微分为 d z f1' dx1 f 2 ' dx2 f n ' dxn , 其中
因此 f 在原点不可微。
x h 2 lim lim 0. 与假设矛盾。 2x, 0 x 0 2 x 2
函数在一点处可微，则在该点处偏导数一定存在， 反之不然。 定理： 若函数 f 在点 P0 的某邻域内存在一阶偏导数, 且偏导数在 P0 处连续, 则 f 在 P0 可微。
f i ' f x i ( x1 , x2 , , xn ) .
五. 连续、可微与偏导数存在之间的关系
一元函数： 可导 可微 连续
多元函数：若 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微, 则在某 U ( P0 ) 内有 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
f ( x,0) f (0,0) 0 ,类似可得 f y (0, 0) 0 . 解：f x (0, 0) lim x 0 x z f ( x, y) f (0, 0) x y . 设 f 在原点可微，
令 h z ( f x (0, 0) x f y (0, 0) y ), ( x )2 ( y )2 , 则由定理有 h o( ) . 但若取 x y , 则 h x ,
0
考虑 A,B 是否与偏导数有关。
若函数 z f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微, 则在某 U ( P0 ) 内有
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) A x B y o( ) . 令 y 0 , 则上式成为 z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) A x o( | x | ) . f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) A , 即 f x ( x0 , y0 ) A . 由此得 lim x 0 x