第一章习题1.思考题（1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？（2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？（3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？（4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？（5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？（6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？（7）如何进行换基迭代运算？（8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？（9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。

（10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？2.建立下列问题的线性规划模型：（1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示：润最大的模型。

（2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。

如何安排配方，使成本最低？（3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。

表1-20假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。

能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？（4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。

仓库现有长6.5米的钢材。

如何下料，使消耗的钢材最少？图1-63. 用图解法求下列线性规划的最优解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≥+≥++=0,425.134 12 64 min )1(2121212121x x x x x x x x x x z⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+-≤++=0,82 5 1032 44 max )2(2121212121x x x x x x x x x x z⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≤+-≤++=0,6054 4 22232 96 max )3(21221212121x x x x x xx x x x x z⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥++=0,1 1234 3 max )4(21212121x x x x x x x x z4. 把下列线性规划化为标准形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=-++-≥-+≤-+-+-=无约束432143213214313210,,01 32 212 min )1(x x x x x x x x x x x x x x x x x z⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≥+-≤++=无约束211212121,02182 32 max )2(x x x x x x x x x z5. 判定下列集合是否凸集：（1）R 1=｛(x 1,x 2)|x 12+2x 22≤2｝（2）R 2=｛(x 1,x 2)|x 12－2x 2+3≥0,x 2≥0,|x 1|≤1｝ （3）R 3=｛(x 1,x 2)|x 1x 2≥1,x 1≥1,x 2≥0｝6. 求出下列线性规划的所有基本解，并指出其中的基可行解和最优解。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+=++=5,,1 ,0182 312 2 4853 max 521423121 j x x x x x x x x x x z j7. 求下列线性规划的解： （1）（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,182 36 82 53 max 21212121x x x x x x x x z⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤++=0,1 42 42 max 21212121x x x x x x x x z（3）（4）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--≥+-+=0,122 2 max 21212121x x x x x x x x z⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥≤--≤++≤+-++=0,0,020102603 2 max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z8. 利用大M 法或两阶段法求解下列线性规划： （1）（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥-≤++=0,2172 23 max 2121212121x x x x x x x x x x z⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+≤+≥++--=0,,54 21823 2 max 32132121321321x x x x x x x x x x x x x x z （3）（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≥++-=0,2 6 31234 max 212212121x x x x x x x x x z⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+++≥++++++=0,,,1223615263 343 min 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x z 9. 对于问题⎩⎨⎧≥==0b max X AX CX z （1）设最优解为X *，当C 改为C 时，最优解为X ，则0))((*≥--X X C C 。

（2）如果X 1，X 2均为最优解，则对于α∈[0，1]，αX 1+（1－α）X 2均为最优解。

10. 用单纯形法求解问题2（4）（合理下料问题）。

11. 表1-21是一个求极大值线性规划的单纯形表，其中x 4，x 5，x 6是松弛变量。

（2）要使上表成为最优表，a 应满足什么条件？ （3）何时有无穷多最优解？ （4）何时无最优解？（5）何时应以x 3替换x 1？第二章习题1.思考题（1）如何在以B为基的单纯形表中，找出B－1？该表是怎样由初始表得到的？（2）对偶问题的构成要素之间，有哪些对应规律？（3）如何从原问题最优表中，直接找到对偶最优解？（4）叙述互补松弛定理及其经济意义。

（5）什么是资源的影子价格？它在经济管理中有什么作用？（6）对偶单纯形法有哪些操作要点？它与单纯形法有哪些相同，哪些地方有区别？（7）灵敏度分析主要讨论什么问题？分析的基本思路是什么？四种基本情况的分析要点是什么？2.已知某线性规划的初始单纯形表和最终单纯形表如表2-21，请把表中空白处的数字填上，并指出最优基B及B－1。

3.某个线性规划的最终表是表2-22：表2-22初始基变量是1，4，5。

（1）求最优基B=（P1，P2，P3）；（2）求初始表。

4.写出下列线性规划的对偶问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=+-≥-+-≤+++-=无约束321321321321321,0,01314242 3 max )1(x x x x x x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≥++=++-≤--+++-=无约束432143132143214321,,0,01222 242 32 min (2)x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=≤+==≥+=≥+===≤=∑∑∑∑====nn j x n n j x n j x mm i b x a m m i b x a m i b x a x c z jj j i nj j ij i nj j ij i nj j ij nj jj ,,1,0,,1,,,1,0,,1,,,1,,,2,1, max (3)221121211111无约束 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=====∑∑∑∑====nj m i x nj b x m i a x x c z ij j m i ij i nj ij m i nj ijij ,,1 ,,10,,1 ,,1min (4)11115. 已知线性规划⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++++=0,, min 32123232221211313212111332211x x x b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z （1）写出它的对偶问题；（2）引入松弛变量，化为标准形式，再写出对偶问题； （3）引入人工变量，把问题化为等价模型：⎪⎩⎪⎨⎧≥=+-++=+-+++-++=0,,)( max 7127532322212116431321211176332211x x b x x x a x a x a b x x x a x a x a x x M x c x c x c z 再写出它的对偶问题。

试说明上面三个对偶问题是完全一致的。

由此，可以得出什么样的一般结论？ 6. 利用对偶理论说明下列线性规划无最优解：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥≥+--≥++-+-=0,0,032242 max 321321321321x x x x x x x x x x x x z 7. 已知表2-23是某线性规划的最优表，其中x 4，x 5为松弛变量，两个约束条件为≤型。

j （2）写出原问题的对偶问题； （3）由表2-23求对偶最优解。

8. 已知线性规划问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+≥+≥+++≥+++++=4,3,2,1,02 2 633 2 6368 min 314343214214321j x x x x x x x x x x x x x x x x z j（1）写出对偶问题；（2）已知原问题的最优解为X *=（1，1，2，0）T ，求对偶问题的最优解。

9*. 已知线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+-≥++≤--+-=无约束321321321321321,0,41632532 34 max x x x x x x x x x x x x x x x z 的最优解为X *=（0，0，4）T 。

（1）写出对偶问题； （2）求对偶问题最优解。

10. 用对偶单纯形法解下列各线性规划：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥++++=0,,43232 432 min (1)321321321321x x x x x x x x x x x x z⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++++=0,,10536423 425 min (2)321321321321x x x x x x x x x x x x z11. 设线性规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤=∑∑==n j x m i b x a x c z ji nj j ij nj jj ,,2,1 ,0,,2,1 max 11（2.41）的m 种资源的影子价格为y 1*，y 2*，…，y m *。

线性规划⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≤>≤=∑∑∑===n j x m i b x a b x a x c z j i n j j ij nj j j nj jj ,,2,1 ,0,,2max 11111λλλ （2.42）与（2.41）是等价的，两者有相同的最优解，请说明（2.42）的m 种资源的影子价格为（y 1*/λ，y 2*，…，y m *），并指出这一结果的经济意义。

12*. 已知线性规划⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥+-+≥-++--+=0,,0,423322 2812 min 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x z（1）写出对偶问题，用图解法求最优解；（2）利用对偶原理求原问题最优解。