《数学建模与计算》
问题生产计划问题
一、问题的提出
已知某工厂计划生产I 、II、III三种产品，各产品需要在A、B、C设备上加工，有关数据如下：
I II III 设备有效台数（每月）
A 8 2 10 300
B 10 5 8 400
C 2 13 10 420
单位产品利润（千元） 3 2 2.9
试回答：(1) 如何发挥生产能力，使生产盈利最大？
(2) 若为了增加产量，可租用别的工厂设备B，每月可租用60台时，租金1.8万元，租用B设备是否划算？
(3) 若另有二种新产品IV、V，其中新产品IV需要设备A为12台时、B为5台时、C为10台时，单位产品盈利2.1千元；新产品V需要A为4台时、B为4台时、C为12台时，单位产品盈利1.87千元，如果A、B、C的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否划算？
(4) 对产品工艺重新进行设计，改进结构。
改进后生产每件产品I需要设备A 为9台时、设备B为12台时、设备C为4台时，单位盈利4.5千元，这时对原计划有何影响？
二、问题的分析
对问题进行分析，该问题属于线性规划问题中的整数规划问题，需要根据线性规划的思想，根据题意建立线性规划问题。
根据线性规划的思想，建立线性规划模型，要根据已知条件建立出目标函数，意义对目标函数所影响的约束条件。
对于该问题，首先要确定决策变量，要求如何生产三种产品使得利润最大。
其次，根据约束条件，利用工具求解。
最后，确定问题的目标函数，由
题意知安排最好的生产方式使得总的盈利最大。
三、基本假设
(1) 在已知条件下该问题存在可行解。
(2) 生产产品是设备部损坏。
四、定义符号的说明
1x 每月生产产品I 的台数 2x 每月生产产品II 的台数
3x 每月生产产品III 的台数 4x 每月生产产品IV 的台数
5x 每月生产产品V 的台数 z 每月最大的总盈利
五、模型的分析、建立以及结果分析 5.1模型的分析
对问题进行分析，该问题属于规划问题中的整数规划问题！建立线性规划模型有三个基本步骤：
第一步，找出待定的未知变量（决策变量），并用代数符号来表示它们；
第二步，找出问题的所有限制或约束条件，写出未知变量的线性方程或线性不等式； 第三步，找到模型的目标，写成决策变量的线性函数，以便求其最大或最小值。
5.2 模型的建立以及结果分析
该问题完整的线性规划模型如下： (1)
目标函数 max z = 31x + 22x + 2.93x
约束条件为
81x + 22x + 103x ≤ 300 101x + 52x + 83x ≤ 400 S.t 21x + 132x + 103x ≤ 420 i x ≥ 0, i = 1,2,3;
以下是lingo 中下的代码：
model :
max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3; 8*X1 + 2*X2 + 10*X3 <= 300; 10*X1 + 5*X2 + 8*X3 <= 400; 2*X1 + 13*X2 + 10*X3 <= 420; @gin (X1); @gin (X2); @gin (X3); End
以下是程序的运行结果：
结果分析：
由以上可知每月生产I 产品24台，II 产品24台，III 产品5台，可使生产盈利最大， 最大利润为134.5千元
(2)
I II III 设备有效台数（每月）
A 8 2 10 300
B 10 5 8 460 C
2 1
3 10 420 单位产品利润（千元） 3
2
2.9
目标函数 max z = 31x + 22x + 2.93x - 18
则此时的约束条件为
81x + 22x + 103x ≤ 300 101x + 52x + 83x ≤ 460 S.t. 21x + 132x + 103x ≤ 420 i x ≥ 0, i = 1, 2, 3;
以下是lingo 中下的代码：
model :
max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3-18; 8*X1 + 2*X2 + 10*X3 <= 300; 10*X1 + 5*X2 + 8*X3 <= 460; 2*X1 + 13*X2 + 10*X3 <= 420; @gin (X1); @gin (X2); @gin (X3); end
以下是程序的运行结果：
结果分析：
由以上可知最大盈利为127千元 小于（1）中的134.5千元，故租用B 设备不划算。
(3)
I
II
III
IV
V
设备有效台数（每
月）
A 8 2 10 12 4 300
B 10 5 8 5 4 400
C 2 13 10 10 12 420 单位产品利润（千元） 3
2
2.9
2.1
1.87
目标函数 max z = 31x + 22x + 2.93x + 2.14x + 1.875x
则此时的约束条件为
81x + 22x + 103x + 124x + 45x ≤ 300 101x + 52x + 83x + 54x + 45x ≤ 400 S.t. 21x + 132x + 103x + 104x + 125x ≤ 420 i x ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5;
以下是lingo中下的代码：
model:
max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3+2.1*X4+1.87*X5;
8*X1 + 2*X2 + 10*X3+12*X4+4*X5 <= 300;
10*X1 + 5*X2 + 8*X3 +5*X4+4*X5 <= 400;
2*X1 + 13*X2 + 10*X3+10*X4+12*X5 <= 420;
@gin(X1);
@gin(X2);
@gin(X3);
@gin(X4);
@gin(X5);
End
以下是程序的运行结果：
结果分析：
由以上可知此时的最大盈利为135.96千元大于（1）中的134.5千元，故这两种新产品投产在经济上划算。
(4)
I II III 设备有效台数（每月）
A 9 2 10 300
B 12 5 8 400 C
4 13 10 420 单位产品利润（千元） 4.5
2
2.9
目标函数 max z = 4.51x + 22x + 2.93x
则此时的约束条件为
91x + 22x + 103x ≤ 30 121x + 52x + 83x ≤ 400 S.t. 41x + 132x + 103x ≤ 420 i x ≥ 0, i = 1, 2, 3;
以下是lingo 中下的代码：
model :
max = 3*X1 + 2*X2 + 2.9*X3; 9*X1 + 2*X2 + 10*X3 <= 300; 12*X1 + 5*X2 + 8*X3 <=400; 13*X1 + 13*X2 + 10*X3<= 420; @gin (X1); @gin (X2); @gin (X3); End
以下是程序的运行结果：
结果分析：
由以上可知此时的最大盈利为101.5千元小于（1）中的134.5千元，则如果对产品工艺重新进行设计，改进结构，这时的最大盈利会比原计划的最大利润少。
参考文献
[1] 陈东彦，数学建模，北京：科学出版社，2007.
[2] LINGO用户指南（LINGO8.0的帮助文档）.
[3] 朱德通编著. 最优化模型与实验. 上海：同济大学出版社，2003.
[4]姜启源数学建模[M] 北京：高等教育出版社2005.
[5]同济大学应用数学系工程数学线性代数高等教育出版社2005.。