T m1 g m1 ( a a r )
T
T m2 g m2 ( a ar )
解此方程组得到：
m1 m2 ar (a g ) m1 m2
2 m1m2 T (a g ) m1 m2
T
a1
m1
a2
m2
m1g
m2 g
讨论：
由(2)的结果，令a=0，即得到(1)的结果
（二）应用牛顿定律求解质点动力学问题的一般步骤
1、选取研究对象（学会用隔离体法） 2、分析受力情况画出受力图（找出全部力） 3、选取坐标系 4、列方程求解 5、讨论
1、常力作用下的连接体问题：
例: 设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮两侧用轻
绳悬挂着质量分别为m1和m2的重物A和B，已知m1>m2 。 当电梯 (1) 匀速上升，(2) 匀加速上升时，求绳中的张力 和物体A相对于电梯的加速度。
2
得：
k v x ln m v0
k x m
v e v0
e
k x
v v0 e
（证毕）
k x

上面介绍的是牛顿第二定律的微分形式，它是 力与加速度的瞬时关系，用起来有时不够方便， 经常是要通过积分才能求得最终结果，为使牛 顿运动定律应用起来更方便，下面介绍两种牛 顿第二定律的积分形式 integral form：
l v
2
积分：
2 l v ( l x ) gdx l vdv 得： l g g l 0 0 2 2
2
l g g
2
l v l 2 2
2
2
2
(2 ) gl v

2 v gl
例题：摩托快艇以速率v0行驶，它受到的阻力与速度
任何物体都具有保持运动状态不变的顽固性 — ———惯性，惯性是物质最基本的特性之一，量度 惯性大小的量称为质量。惯性是保持物体运动状态 的根源。
4、问题： question



牛顿第一定律引进了哪两个重要的概念 ？ （惯性和力。） 什么样的状态称为平衡状态 ？ （静止和匀速直线运动状态统称平衡状态） 质点处于平衡状态的条件是什么 ？ （作用于质点上的所有力的合力等于零）


G mg lsg
F G B lsg xsg ( l x ) sg 由牛顿第二定律： F m dv , 即 : ( l x ) sg ls dv dt dt dv dv dx dv dv v 则上式为：( l x ) g l v 利用： dt dx dt dx dx
1 、动量的定义 momentum

pmv


2、牛顿第二定律的微分形式
dp F 或 d p F dt dt
dv F mam dt
问题：
（1）上式与右式有何不同？
（后者是质量可视为常量时的表达式，前者是普遍适用的。） （2）在哪两类问题中质量是不能视为常量的？ （一是在运动过程中其质量有所增减的，如：飞行的火箭； 二是质点的运动速度接近光速时）
§1-4 牛顿运动定律 Newton’s Law of Motion

动力学：研究作用于物体上的力和 物体机械运动状态变化之间的关系。

主要内容：
1、牛顿运动三定律 2、常见力和基本力
3、牛顿运动定律的应用
4、牛顿运动定律的适用范围 5、动量定理
6、动能定理
恩格斯说 ：“牛顿由于发现了万有引力定律 而创立了天文学，由于进行光的分解而创立了科学 的光学，由于创立了二项式定理和无穷级数理论而 创立了科学的数学，由于认识了力学的本性而创立 了科学的力学。” 牛顿在自然科学领域里作了 奠基的贡献，堪称科学巨匠。
二、牛顿第三定律 Newton’s Third Law
1、牛顿第三定律的陈述
作用力与反作用力是作用在两个不同的物体上，大 小相等，方向相反，且在同一直线上，同时出现同时 消失，属于同种类型的力。
2、牛顿第三定律的数学表达式
F AB F BA


问题：平衡力与作用力和反作用力有何不同？
（平衡力是作用在同一物体上的两个力，而作用力 和反作用力是作用在两个不同的物体上。）
由于我们生活在地面上，地面是 一个最常用的惯性系。但只能说地面 是一个近似的惯性系，而不是一个严 格的惯性系，因为地球有自转角速度：
1 7 .3 10 5 rad s 1
由于地球的自转，地球上的物体 有法向加速度。
2、地心参考系 earth's core
地心参考系相对地面参考系严格 些，地球绕太阳公转的角速度：
力的时间累积作用——动量定理
momentum theorem
力的空间累积作用——动能定理
kinetic energy theorem
关于定理、定律、原理




1、定理 Theorem ：已经证明是正确的，可以作为原则或 规律的命题或公式。它可以由定律或原理来证明或推导出 来。（动量定理、动能定理、角动量定理） 2、定律 Law ：通过大量的实践和实验总结归纳出来的客 观规律，它是对某种客观规律的概括。（牛顿三定律、机 械能守恒定律、动量守恒定律、角动量守恒定律、能量守 恒定律、转动定律、碰撞定律） 3、原理 Principle ：通过大量的实践和实验总结归纳出 来的，带有普遍性的最基本的、可以作为其它规律的基础 的规律。 （功能原理、运动叠加性原理、光速不变原理、 伽利略相对性原理） 原理和定律是不能从理论上证明的，其正确性只能用 实践来检验，如果实践中发现一例与之相违，该原理、定 律即被推翻，或必须限定其适用范围及条件。
动力学三大定律和万有引力定律。其实，没有后者，
就不能充分显示前者的光辉。海王星的发现，把牛
顿力学推上荣耀的顶峰。 但是，十九世纪末期, 看来很和谐的经典物理理 论, 发生了很大的困难， 使许多物理学家感到困惑不 解. 正如开尔文在1900年指出的那样，物理学晴朗的 天空飞来两朵乌云，它动摇了经典物理理论的基础.
解:以地面为参考系，物体A和B为研究对象，分别进行
受力分析。 物体在竖直方向运动，建立坐标系xoy y
Байду номын сангаас
ar
ar
T
T
a1
o
m1
m2 m1
a2
m2
m1g
m2 g
(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对 地面的加速度。A的加速度为负，B的加速度为正， 根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：
T m1 g m1ar
m1 m2 ar g m1 m2
2m1m2 T g m1 m2
若电梯以加速度a 加速下降时: 由(2)的结果， 即得到
m1 m2 ar ( g a) m1 m2
2 m1m2 T ( g a) m1 m2
2、变力问题 problem of variable force 例题：有一密度为 的细棒，长度为l, 其 上端用细线悬着，下端紧贴着密度为 的 液体表面，现将悬线剪断，求细棒在恰好全 部没入液体中时的沉降速度，设液体没有粘 性。 解：浮力B是个变力： B xsg 细棒的重力： 棒所受合外力：
1、惯 性 系：牛顿定律成立的参考系，叫惯性参考 系，简称惯性系。 2、非惯性系：牛顿定律不成立的参考系，叫非惯性 参考系，简称非惯性系。 3、问题： （1）在运动学中，参考系是否可以任意选取？
（可以）
（2）应用牛顿定律研究动力学问题时，参考系是 否可以任意选取？ （不可以）
四、几种实用的惯性系
1、地面参考系 ground reference frame
种状态； 表述2： 任何质点，只要其它物体作用于它的所 有力的合力为零，则该质点就保持静止或匀速直 线运动状态不变。
2、力
Force
物体间的相互作用是多方面的（如电、光、热
等），力是从一个方面反映了这种相互作用。任何
力一定有施力物体和受力物体。力是改变物体运动
状态的根源。 3、惯性 inertia
五、牛顿第二定律 Newton’s Second Law
1、数学表达式 Maths Expression
dv F mam dt



4、分量式components
2、瞬时性: Instantaneity 3、矢量性、力的叠加原理：
The principle of superposition of force
注：若将A、B视为一个系统，则 F AB 与 F BA
就是系统的内力，内力在系统中总是成对 出现；系统内力的总和为零，即：内力对 系统的整体运动不发生影响。


例：“自举”之力
三、惯性系与非惯性系
inertia system (inertia
reference frame) and noninertia system
dx vdt
t

x
0
dx vdt
0
t 0
v0 dt 1 x ln(1 v0 k t ) 0 1 k v t k 0 1 ln(1 v0 k t ) k

（3）由牛II定律
即：
dv dv dx dv F kv m m mv dt dx dt dx k dv x v dv k dx 积分： dx 0 v0 v m v m
T
T m2 g m2 ar
上两式消去T，得到：
T
a1
m1
a2
m2
m1 m2 ar g m1 m2
将ar代入上面任一式T，得到：