lim
lim
o
lim 1
o
1
因此 ~ .
必要性：设 ~ ，则
lim
lim
1
lim
1
0
因此 o ,即 o
定理5
设
~ 1，
~
1，且
lim
1 1
存在，则lim
lim 1 . 1
证
lim
lim
1
1 1
1
lim lim 1 lim 1 lim 1
考察例子：当x 0时函数x与sin 1 的乘积x sin 1 的变化趋势.
x
x
lim x 0 x是当x 0时的无穷小.
x0
sin 1 1 sin 1 是有界函数.
x
x
当x 0时, x sin 1 是有界函数sin 1 与无穷小 x 的乘积.
x
x
0 x sin 1 x sin 1 x
例如 f (x) 1 是当x 0时的无穷大,记作lim 1 .
x
x0 x
f (x) ex是当x 时的无穷大,记作 lim ex +. x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
例如
lim f (x) ，或 lim f (x) .
x x0 ( x )
x x0 ( x )
lim 1 , x x0
例
求
lim
x
x4 x3
5
解
因为 lim x
x3 x4
5
lim
x
1 x
5 x4
0
所以根据无穷大量与无穷小量的关系有
lim
x
x4 x3
5
例 求 lim( n 1 n) n
证 lim( n 1 n) lim ( n 1 n)( n 1 n)
n
n
n1 n
lim (n 1) n lim
反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个
函数的极限。即
lim
x x0
f (x)
A
f (x)
A (是当x
x0时的无穷小).
例 当x 时,将函数f (x) 2x 3 表示成其极限值与一个
x
无穷小之和的形式.
解
f (x) 2x 3 2 3 ,
x
x
f
(
x)
2
3 x
无穷小量与无穷大量
1、无穷小量
2、无穷大量
3、无穷小量与无穷大量的关系
1. 无穷小量 定义1 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小.
例如 lim(1 )2 0 ( 1)2是当n 时im 1 0 1 是当x 时的无穷小;
x x
x
lim(1 x) 0 1 x是当x 1时的无穷小.
1
n n 1 n n n 1 n
由于lim( n 1 n)
n
故 lim
1
0
n n 1 n
即lim( n 1 n) 0 n
无穷小量的比较
虽然知道两个无穷小的和、差、积仍然是无穷小，
但是两个无穷小的商，却出现不同的情况。例如：
x1 2x 2
x3 1
0. 1 0. 01 0. 001 … → 0 0. 2 0. 02 0. 002 … → 0 0. 001 0. 000001 0. 000000001 … → 0
n
n2
2 n2
3 n2
100 n2
)
解
原式=
lim
n
1
2
3 n2
100
lim
n
5050 n2
0
思考
无限 个 无穷小的代数和仍是无穷小吗？
•••
例
1
lim(
n
n
2
2 n2
3 n2
n 1 n2 )
(n 1)(n 2)
解 原式= lim n
2 n2
lim 1 (1 1)(1 2) 1 .
n 2
n
n2
lim x3 0, x0 2x
lim
x0
2x x3
,
lim 2x 2. x0 x
定义1 设和都是在同一自变量的变化过程中的无穷小，
且 0.
(1)如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,记作 ( );
(2)如果lim ,就说是比低阶的无穷小;
(3)如果lim C(C 0),就说与是同阶的无穷小;
（7）1 cos x
x ; （6）ex 1 x ;
x2 .
（8）1 x 1 ~ x
2
例1. 求极限lim tan3x . x0 sin5x
解
tan 3x lim x0 sin 5x
tan 3x ~ 3x,sin 5x ~ 5x lim 3x x0 5x
3. 5
例2.求极限lim 1 cosx.
x0 xsin2x
(4)
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin2 x2
x 2
lim
x0
sin x
x 2
2
1,
2
2
2
当x 0 时,1 cos x与 x2 是等价无穷小.
2
即1 cos x x2 (x 0). 2
例.试证明当x 0时,(1) arcsin x ~ x,(2) 1 x 1 ~ 1 x.
x1
注意 （1）函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。
（2）无穷小是变量, 不能与很小的数混淆。
(3) 常数中，只有“0”可以看作无穷小.
例1 下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？
(1) y x 2; (2) y 1 ;
(3) y 2x ;
x3 (4) y cos x.
解 (1) lim(x 2) 0, 当x 2时, y x 2为无穷小. x2
x
x
当x 0时,上式左右两端的函数的极限都等于零,即
lim 0 0,
x0
lim x sin 1 0
x0
x
lim x 0.
x0
x sin 1 仍是无穷小. x
性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. (常数是有界） 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小（. 无穷小也是有界）
(2)
lim
x0
1 1
x x
1
lim
x0
(
1 x 1)( 1 x 1) 1 x( 1 x 1)
2
2
lim 2x
x0 x( 1 x 1)
lim 2 1 x0 1 x 1
1 x 1 ~ 1 x (x 0). 2
定理4 与是等价无穷小量的充分必要条件是 o
证 充分性：设 o ，则
特别地，当C=1时，则与是等价无穷小,记作 .
例 比较下列无穷小的阶数的高低：
(1)
x
时,
无穷小
1 x2
与
4 x3
.
(2) x 3时,无穷小 x2 9与x 3.
(3)x 0时,无穷小 tan2 x与x.
(4)x 0时,无穷小1 cos x与 x2 .
1
2
解
(1)
lim x2 lim x , x 4 x 4
.
lim 3 0. x x
2、无穷大量
y
1
1
y
x
o
x
y
y ex
x o
当x 0时,函数f (x) 1 的绝对值无限制的增大. x
当x 时,函数f (x) ex的绝对值无限制的增大.
定义2
如果当x x0 (或x )时,函数f (x)的绝对值无限增大,
则函数f (x)叫作当x x0 (或x )时的无穷大.
例2.用无穷小的性质说明下列函数是无穷小：
(1) y 4x3 2x2 x (x 0);
(2)
y
sin 2x x2
(x
).
解 (1) 当x 0 时,x是无穷小. (推论1、推论2、性质1)
(2)
lim
x
1 x2
0,
sin 2x 1.
( 性质2 )
定理1 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；
x3
当x
时,
1 x2
是比
4 x3
低阶的无穷小.
(2)
lim x2 9 lim(x 3) 6,
x3 x 3 x3
当x 3时,x2 -9与x 3是同阶的无穷小.
(3)
lim tan2 x lim(sin x sin x 1 ) 0,
x0 x
x0 x
cos2 x
当x 0时,tan2 x是比 x 高阶的无穷小.
1
1
1
综上所述，求两个无穷小量商的极限时，分子和分母都
可用等价无穷小量来替代，因此，如果用等价无穷小量
来求解极限，可大大减化求极限的步骤.
当 x 0 时，等价无穷小：
（1）sin x x ;
(2) arcsin x x ;
（3）tan x x ;
（4）arctan x x ;
（5）ln(1 x)
x0
x3
解
tan x sin x
lim
x0
x3
sin x sin x
lim
x0
c os x x3
sin x(1 cos x)
lim x0
x3 cos x
sin x x,1 cos x x2 2 lim
x x2 2
lim 1 1 .
x0 x3 cos x
x0 2 cos x 2