1.如图，三棱柱 ABC — A i B i C i 中，侧棱垂直底面， 1/ ACB=90 , AC=BC= gAA i , D 是棱 AA i 的中点 (I )证明：平面 BDC i 丄平面BDC(n)平面BDC i 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的 比•2•如图5所示，在四棱锥 P ABCD 中，AB 平面 PAD , AB//CD , PD AD , E 是1PB 的中点，F 是CD 上的点且 DF —AB ,2PH PAD 中AD 边上的高•(1) 证明：PH 平面ABCD ;(2) 若 PH i , AD 2, FC i ，求三 (3)证明：EF 平面PAB .3.如图，在直三棱柱ABC ABG 中，AB i AC i , D ,E 分 别是棱BC , CC i 上的点(点D 不同于点C )，且AD DE , F 为B,G 的中点.求证：(i )平面ADE 平面BCGB,；(2)直线AF 〃平面ADE .棱锥E BCF 的体积;妥5小4. 如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△ PAD为等腰直角三角形，/ APD=90面PAD丄面ABCD，且AB=1 , AD=2 , E、F分别为PC和BD的中点.(1) 证明：EF//面PAD ;(2) 证明：面PDC丄面PAD ;(3) 求四棱锥P—ABCD的体积.5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA 平面ABCD , PD//MA , E、G、F 分别为MB、PB、PC 的中点，且AD PD 2MA.(I)求证：平面EFG 平面PDC ;(II )求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比. B6. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。

EF//AC , AB=「2 ,CE=EF=1(I)求证：AF//平面BDE(H)求证：CF丄平面BDF;7. 女口图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2EF// AB,EF 丄FB, / BFC=90° , BF=FC,H 为BC 的中点, (I )求证：FH //平面EDB;(H)求证：AC丄平面EDB;(川)求四面体B—DEF的体积；8.如图，在直二棱柱ABC Ai B1C1中，E、F分别是A i B、A1C的中点，点D在B J G上，A D BQo求证：(1) EF//平面ABC ;(2)平面AFD 平面BB i C i C .BE FB9•如图4,在边长为1的等边三角形ABC中，D, E分别是AB, AC边上的点,AD AE , FG ,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥BCF ,其中BC10.如图，在四棱锥P ABCD中，AB//CD , AB AD , CD 2AB ,平面PAD 底面ABCD , PA AD , E和F分别是CD和PC的中点，求证：⑴ PA 底面ABCD ;(2) BE//平面PAD ;(3)平面BEF 平面PCD证明：DE //平面BCF ;证明：CF平面ABF ;2当AD 时,求三棱锥F3DEG的体积V图4是BC的中点,AF与DE交于点C11. （2013年山东卷）如图，四棱锥P ABCD中, AB AC,AB PA , AB// CD,AB 2CDE,F,G,M ,N分别为PB, AB,BC,PD,PC 的中点(I)求证:CE /平面PAD .(n )求证：平面EFG 平面EMN12立体几何经典试题参考答案1.【解析】(I)由题设知BC 丄CC 1 ,BC 丄AC CC 1 AC•••面 BDC 丄面 BDC 1 ;(n)设棱锥 B DACC i 的体积为 V , AC =1，由题意得, 由三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V =1，•- (V V : V | =1:1,•平面BDC 1分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.【解析】(1)证明：因为 AB 平面PAD , 所以PHAB 。

因为PH PAD 中AD 边上的高， 所以PH AD 。

因为 AB I AD A , 所以PH 平面ABCD 。

(2) 连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。

因为E 是PB 的中点，所以 EG // PH 。

因为PH 平面ABCD , 所以EG 平面ABCD 。

1 1则 EG —PH -,2 211 1 V E BCFS BCF EG FC AD EG33 2(3) 证明：取PA 中点M ，连结MD , ME 。

因为E 是PB 的中点，1所以 ME// — AB 。

2••• DC 1 面 ACC* ,• DC 1 BC , 由题设知 A 1DC 1 ADC 45°, • CDC 1 = 900, 即 DC 1 DC , 又••• DC BC C , • DC 1 丄面 BDC , DC 1 面 BDC 1 ,C , • BC 面 ACC 1A 1,又V1= 3因为 DF // 1AB ,2所以 ME// DF ,所以四边形MEDF 是平行四边形, 所以 EF // MD 。

因为PD AD , 所以MD PA 。

因为AB 平面PAD , 所以MD AB 。

因为 PAI AB A , 所以MD 平面PAB , 所以EF 平面PAB 。

(2)••• AB i AC i , F 为 B i C i 的中点，••• A i F BG 。

又••• CC i平面，且 AF 平面 ABC ,• CC iAF 。

又・ CC i? Bj C i平面 BCC iB i, CC iI B iC iC i, •- A (F 平面 ARG 。

由(i )知，AD 平面 BCC iB iAF // AD 。

又••• AD 平面ADE, A i F 平面ADE ，•直线 AF //平面ADE4.如图，连接AC ,••• ABCD 为矩形且F 是BD 的中点， • AC 必经过F i 分又E 是PC 的中点， 所以，EF // AP2分 •/ EF 在面PAD 夕卜，PA 在面内，• EF //面PAD(2)：面 PAD 丄面 ABCD , CD 丄 AD ，面 PAD I 面 ABCD=AD , • CD 丄面 PAD ,3.【答案】证明 :(i )- ABC A BC i 是直二棱柱，•CC i平面 ABC 。

又•• -AD平面 ABC ,• CC i AD又•• AD DE , CC i ，DE 平面BCC i B i , CC i IDE E,• AD 平面 BCC iB io又•• -AD平面 ADE ，•平面ADE平面 BCC B 。

又AP 面PAD ,••• AP 丄CD又••• AP丄PD, PD和CD是相交直线，AP丄面PCD又AD 面PAD，所以, 面PDC丄面PAD(3)取AD 中点为0,连接P0,因为面PAD 丄面ABCD 及厶PAD为等腰直角三角形，所以P0丄面ABCD ,即P0为四棱锥P—ABCD的高1 2••• AD=2 ,• P0=1，所以四棱锥P—ABCD 的体积V P0 AB AD 35.所以PD 匕平面ABCD又BC 匕平面ABCD因为四边形ABCC为正方形所以PD 丄BC又PD n DC=D因此BC 丄平面PDC在厶PBC中，因为G平分为PC的中点，所以GF // BC因此GF丄平面PDC又GF 匕平面EFG所以平面EFGL平面PDC.【解析】(I)证明：由已知MA 平面ABCD , PD // MA(n)解：则所以由于所以因为PDL平面ABCD四边形ABCD为正方形，不妨设PD=AD=2 , ABCDV p-ABCC=1/3S 正方形ABCD PD=8/3DA丄面MAB的距离DA即为点MA=1三棱锥Vp-MAB=1/3 X p-ABCD=1:4。

P到平面MAB的距离，1/2 X 1 X 2 X 2=2/3，所以Vp-MAB: V6.证明：(1)设AC于BD交于点G 因为EF// AG且EF=1, AG」AG=12所以四边形AG圧为平行四边形所以AF/ EGCF丄EG.因为EG 平面BDE,AF 平面BDE,所以AF/平面BDE(n)连接FG因为EF/ CG,EF=CG=但CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。

所以因为四边形ABCC为正方形，所以BD丄AC.又因为平面ACEFL平面ABCD且平面ACEF 平面 ABCD=AC 所以BDL 平面 ACEF 所以CF 丄BD.又BD A EG=G W 以CF 丄平面 BDE.7.(1)证：设AC 与BD 交于点G ,则G 为AC 的中点，连EG,GH ,GH £AB ,D又EF//-AB,四边形EFGH 为平行四边形2EG//FH ，而EG 平面EDB ， FH //平面EDB()证：由四边形 ABC 为正方形，有 AB BC又 EF//AB ， EF BC 而 EF FB ， EF 平面 BFG, EF FH AB FH .又 BF FG,H 为 BC 的中点， FH BC 。

FH 平面 ABCD.FH AC 又FH //EG ， AC EG,又AC BD ，EG BD G AC 平面EDB (川)解：Q EF FB, BFC 90°, BF 平面 CDEF .BF 为四面体B DEF 的高，又BC AB 2, BF FC , 2BF8.证珮⑴因为E, F 分别是AS /c 的中点，所以EF//BC 展EFu 面AK ；, BC U ffiABC,所以 EF"平面 4EC ；⑵ 因为苴三棱枉,所以占对丄面胡］丄州D ・9.【答案】(1)在等边三角形ABC 中，AD AEAD AEDB EC ,在折叠后的三棱锥A BCF 中也成立，DE //BC , Q DE 平面BCF ,BC 平面 BCF , DE / / 平面 BCF ;BF CF -⑵在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ①，2 .H 为BC 的V B DEF-* -*1*、2* 2 -3 23又吗D 丄找匚所以坷D 丄面昭¥， 又 凡Du 咸,所 以 甲简却叨丄甲简成爲quQ BF CF F CF 平面 ABF⑶由⑴可知GE//CF ,结合⑵可得GE 平面DFG .10. 【答案】(I)因为平面PAD 丄平面ABCD 且 PA 垂直于这个平面的交线 AD 所以PA 垂直底面ABCD.(II)因为 AB// CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点 所以 AB// DE,且 AB=DE 所以ABED 为平行四边形，所以BE// AD,又因为 BE 平面PAD,AD 平面PAD 所以BE//平面PAD.(III) 因为AB 丄AD 而且ABED 为平行四边形 所以 BE! CD,ADL CD,由(I)知 PAL 底面 ABCD, 所以PAL CD 所以CDL 平面PAD所以CD L PD,因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点所以PD// EF,所以 CDL EF,所以 CDL 平面 BEF,所以平面 BEFL 平面 PCD. 11. 略BC — Q 在三棱锥A BCF 中，22 2 2BC 2BF 2 CF 2 CF BF ②1 V F DEGVE DFG ~ 3 11 -DG FG GF - 2311 1 .3 1 32 3 3 23 324。