NA(r) n0 (r)sinimax(r) n2 (r) n22
n2 n n1
2020/4/22
一、倾斜光线
射线方程：
d (n dr) n(r) dS dS
轴向分量方程：
d n dz 0 dS dS
角向分量方程：
n dr d d nr d 0
dS dS dS dS
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约束光线：
条件： n22 n 2 n12 即：
n2 n(r0 )cosz (r0 ) n1
光线存在区域: rg1 r rg2 内散焦面半径： rg1 外散焦面半径： rg 2
n12
ng2
n22
n22
I2 a2
0
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n2 r
n2
r
I2 r2
dn dz
0
横向分量：
d dS
ur (rer )
dr dS
ur er
r
ur d er
dS
（矢量关系式
ur d er
d
uur
euur，dde
ur er )
dr dS
ur er
r
d
dS
uur e
d dS
[n
d dS
ur (rer )]
d dS
(n
dr dS
ur er )
d dS
(nr
d
dS
uur e )
r
Const
n ：第一射线不变量,由光线的入射条件所决定！
同一光线：n 值相同；不同光线：n值不同！
轴向运动：广义折射定理
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轴向运动特点
• 相速: Vp＝ω/β＝c/n 恒为常数
• 这说明渐变折射率分布光纤(GIOF)中的光 线沿z轴传播的相速度恒定不变, 与光线 的轴向夹角θz无关,这是一个与均匀折射 率分布光纤(SIOF)完全不同的重要特点 (SIOF中不同角度的光线轴向速度不同)
z z0
n(r0
)
cosz
(
r0
)
sin1
n(0) A
n(0) Ar
n2 (0) n2 (r0 ) cosz (r0 )
化简得：
r(z) R0 sin2z / P 0
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2、双曲正割折射率分布的光纤
n(r) n(0) sech( Ar)
n2 r
n2
r
I2 r2
n22
I2 r2
rl 2 a rl3
r
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折射光线
条件：
0
n2
n22
I2 a2
光线存在区域: r rr1
内散焦面半径： rr1
n12
n22
n22
I2 a2
nr2
0 rr1
n2 r
n2
r
I2 r2
n22
I2 r2
a
r
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代入：
z r r0
得光线轨迹：
n(r0 ) cosz (r0 )dr n2 (r) n2 (r0 ) cos2 z (r0 )
sinh( Ar) R1 sin( Az 1 )
光线周期为：
P 2/ A
具有相等的周期，具有很好的会聚作用，与初始点的位置无关。各
子午光线在一个周期内具有相同的光程，延迟最小。
n1 n2 n1
是相对折射率差，
g是折射率参数，g ：阶跃光纤，g=2：平方分布光纤。
分析方法：几何光学方法分析、波动光学分析方法
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4.1 几何光学方法分析
渐变折射率分布： n(r) n1 1 2(r / a)g 1/2 n2
0ra ra
三、GIOF中子午光线的轨迹
由 和 n 2
dr
2
g r
dz
gr
n2 r
I2 r2
n2
针对子午光线： 90o 且起始点选择在光纤端
可得子午光线的传播轨迹：
z r r0
n(r0 ) cosz (r0 )dr n2 (r) n2 (r0 ) cos2 z (r0 )
起始点的确定：cosz (0) n(r0 ) / n(r)cosz (r0 )
dn(r)
dS dS dS dr
得到：
n 2
dr
2
g r
dz
gr
n2 r
I2 r2
n2
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径向运动特点
• 对于相同r值,dr/dz可正可负,且在z1和z2处 分别达到最大和最小(dr/dz＝0),因此,r－z 关系曲线关于z1和z2对称并呈周期性振荡
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z (r0 ) z (0)
——光纤端面内光线轨迹的切线与z轴的夹角。 ——光线与纤轴交点处轨迹的切线与z轴的夹角。
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1、平方率分布的光纤
1
n(r
)
n(0)
1
2
r a
2
2
1
=n(0) 1
Ar
22
得光线轨迹：
其中：
A 2 a
径向分量方程：
d
n
dr
nr
d
2
dn(r)
dS dS dS dr
在上述推导中，应用了关系：
der dφ
eφ
de dφ
er
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园柱坐标系与光线入射条件 z
dr ds
r0
sin z
r0 sin
r0
ez
e
r
d
ds
r0
sin z
• GIOF带宽大于SIOF!
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角向分量方程： n dr d d nr d 0
dS dS dS dS nz r0 cos r0
I ：第二射线不变量
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[n
dr dS
d
dS
d dS
(nr
d
dS
uur )]e
[ d dS
(n
dr dS
)
nr
d
dS
ur ]er
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轴向分量方程： d n dz 0
ds ds
则有：
n n dz Const ds
n
n
dz ds
nr0
c os z
r0
nr c os z
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红色光线：光线长度l大，但n小； 兰色光线：光线长度l小，但n大；
粉红色光线： l 1.5周期；n n1
？ 光程＝n l Const
Const ?
p.52
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L p n r ds p
n2 r dr
r0 cos
r0
r
z
er
dz ds
r0
cosz r0
r rer zez
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z dz
r0
ds
r0
y
r0d
dr
e
x
er
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r
r r
ur r er
ur zez
dr dS
d dS
ur (rer
ur zez )
纵向分量：
d dS
n
dz dS
光线轨迹: 限制在子午平面内传播的周期曲线。 轨迹曲线在光 纤端面投影线仍是过园心的直线，但一般不与纤壁相交。
广义折射定律: n(r) cos z (r) （n 常数）
局部数值孔径: 定义局部数值孔径NA(r)为入射点媒质折射率与 该点最大入射角的正弦值之积,即
导光条件:
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r
不存在能够使所有光线很好会聚的折射率分布!
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复习与思考
1. 一根空心玻璃管能否传光？为什么？ 2. 光纤纤芯变粗时，允许存在的模式数目如何变化？ 3. 光纤中传播的光波有何特征？ 4. 推导波导场方程经历了哪几种分离变量？ 5. 本征方程有什么特点？ 6. 模式是什么？ 7. 如何唯一确定一个模式？ 8. 由射线方程推导光线轨迹，只需要知道什么？ 9. 渐变折射率分布光纤中光线如何传播？为什么？
n22
I2 r2
rg1 rg 2
a
r
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隧道光线
条件： n22
I2 a2
n2
n22
n12
光线存在区域: rl1 r rl2 r rl3
n22
n22
I2 a2
nl2
内散焦面半径： rl1
0
rl1
外散焦面半径： rl2
辐射散焦面半径: rl3
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第四章 渐变折射率分布光纤
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