5-1构件受力如图5-26所示。

试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。

题5-1图解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。

b) 1) 危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；2）应力状态见下图。

c) 1) 危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；2）应力状态见下图。

d) 1）危险点：杆件表面上各点；2）应力状态见下图。

5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。

10题5-2图AAT（a）（c）（d）364dFlπτ=a) b) c) d)a) b) c)解： a) 1σ=50 MPa, 2σ=3σ=0,属于单向应力状态b) 1σ=40 MPa, 2σ=0, 3σ=－30 MPa ，属于二向应力状态 c)1σ=20 MPa, 2σ=10 MPa, 3σ=－30 MPa ，属于三向应力状态5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa ）。

试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。

20题5-3图解：a) 取水平轴为x 轴，则根据正负号规定可知：x σ=50MPa , y σ=30MPa , x τ=0, α=－30带入式（5-3），（5-4）得=45MPa = -8.66MPab) 取水平轴为x 轴，根据正负号规定：x σ= -40MPa , y σ=0 , x τ=20 MPa , α=120带入公式，得：240sin 20240cos 20402040---++-=ασ=7.32MPa x τ= 240cos 20240sin 2040+--=7.32MPac) 取水平轴为x 轴，则x σ= -10MPa , y σ=40MPa , x τ= -30MPa,α=30代入公式得：60sin )30(60cos 2401024010----++-=ασ=28.48MPa x τ= 60cos 3060sin 24010---=-36.65MPa5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa ）。

试用解析法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。

a)b)c)b)c)a)题5-4图a) 解：（1）求指定斜截面的上应力 取水平轴为x 轴，则 x σ=100MPa , y σ=40MPa , x τ=40MPa,α=45带入公式，得:90sin 4090cos 240100240100--++=ασ=30 MPa ατ= 90cos 4090sin 240100+-= 30MPa(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：=201204024010024010022=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+ MPa 按代数值321σσσ≥≥ 得1201=σ MPa ，202=σ MPa ，03=σ MPa由公式（5-7）可求得主应力方向 02α=13.53 ，0α=57.26最大主应力1σ的方向与x 轴正向夹角为顺时针57.263）最大切应力 由公式（5-20）602120231max =-=-=σστMPa b ）解： （1） 求指定斜截面上的应力取水平轴为x 轴，x σ=60MPa ,y σ= -20MPa , x τ= -30MPa,α= -30代入公式得:)60sin(30)60cos(2)20(602)20(60 -+---+-+=ασ=14.02MPaατ= )60cos(30)60sin(2)20(60-----= -49.64MPa(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：3070)30(2)20(602)20(6022-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--±-+=MPa 按代数值321σσσ≥≥ 得701=σ MPa ，02=σ MPa ，303-=σ MPa由公式（5-7）可求得主应力方向 02α=87.36 ，0α=43.18最大主应力1σ的方向与x 轴正向夹角为逆时针57.26 如图所示： 3）最大切应力 由公式（5-20） 502)30(70231max =--=-=σστMPac)解:取水平轴为x 轴，则x σ=60MPa , y σ=0 , x τ= -40MPa,α= -150代入公式得：)300sin()40()300cos(20602060-----++=ασ=79.64MPa x τ= )300cos(40)300sin(24060----=5.98Mpa(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：2080)40(2060206022-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=MPa 按代数值321σσσ≥≥ 得1201=σ MPa ，202=σ MPa ，03=σ MPa由公式（5-7）可求得主应力方向 02α=13.53 ，0α=57.26最大主应力1σ的方向与x 轴正向夹角为逆时针57.26 如图所示： 3）最大切应力 由公式（5-20）502)20(80231max =--=-=σστ5-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为MPa ）。

试用图解法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。

题5-5图 解：(1)求指定斜截面上的应力b)c)a)由图示应力状态可知x σ=40MPa , y σ=20MPa , x τ=10MPa, y τ=-10MPa由此可确定σ-τ面内的D 、D ’两点，连接D 、D ’交于C 。

以C 为圆心，DD ’为直径可做应力圆，斜截面与x 轴正方向夹角为60，在应力圆上，由D 逆时针量取120得E 点，按比例量的E 点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：ασ=E x =60MPa ，ατ=E y =3.7MPa（2）求主应力及其方程应力圆中A 、B 两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：A x =max σ=44.14MPa ，B x =min σ= 15.86Mpa按照321σσσ≥≥得约定，可得三个主应力为：1σ =44.14MPa ，2σ =15.86MPa ，3σ =0MPa由D 转向A 的角度等于20α。

量得 20α=45（顺时针）因此，最大主应力与x 轴正方向夹角为顺时针22.5。

（3）最大切应力等于由1σ3σ画出的应力圆的半径m ax τ=22.07MPab)解：首先做应力圆：其中 D （0，-20） D '（50，+20）1）斜截面与y 轴正方向夹角45（逆），因此从D '逆时针量20α=90得E 点： E x =ασ=5MPa ，E y =ατ=25Mpa 2) A x =m ax σ=57MPa ， B x =min σ= -7Mpa按照321σσσ≥≥得1σ =57MPa ，2σ =0MPa ，3σ = -7MPa 主应力方向：最大主应力与y 轴夹角为 33.1921'=∠CA D （顺） 3) 最大切应力等于由31,σσ画出的应力圆的半径： 32max =τMPa(c)解： 由图示应力状态可得应力圆上两点D （-20，20）和 D '（30，-20）连DD '交σ轴于C, 以C 为圆心，DD '为直径作圆， 即为应力圆，如图所示1） 斜截面与x 轴正方向夹角为 60(顺), 因此由D 顺时针量120得E 点 E x =ασ=34.82MPa ， E y =ατ=11.65MPa 2） 主应力及其方位应力圆与σ轴的两个交点A,B 的横坐标即为两个主应力：A x =max σ=37MPa ，B x =min σ= -27Mpa因此1σ =37MPa ，2σ =0MPa ，3σ = -27MPa由D '到A 的夹角为逆时针38.66 ，因此最大主应力为由y 轴正方向沿逆时针量19.33所得截面上的正应力。

3） 最大切应力为由31,σσ画出的应力圆半径32max =τMPa5-6一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为mm 。

试求：(1)梁上各指定点的单元体及其面上的应力；(2)作出各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。

题5-6图解：1） 各点的单元体及应力由梁的静力平衡求得250==B A F F kNA,B,C 三点所在截面上的弯矩6250025.0102503=⨯⨯=M Nm 剪力250=Q F kN22.01.06162500⨯⨯==WM A σPa=93.75MPa （压应力） 875.4621==A B σσMPa （压应力）75.182.01.010250233=⨯⨯⨯=Pa C τMPa 06.1443==C B ττMPa2） 作各单元体的应力圆A 点：75.93,0,0321-===σσσMPa ，m ax τ=46.875MPaB 点： 9.31==σA x MPa ，7.503-==σB x MPa ，02=σ，m ax τ=27.3MPaC 点： ==1σA x 18.75MPa ，==2σB x 0，3σ= -18.75 MPa ，m ax τ=18.75MPa5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为MPa ）。

题5-7图解：a) 主应力501=σ MPa ， 由于其它两方向构成纯剪切应力状态， 所以有，231max σστ-==50MPa 。

b) 一个主应力为50MPa ，其余两个方向应力状态如图所示b)c)a)x σ=30MPa ， y σ= -20MPa ，x τ=20MPa代入公式（5-8）2737202)20(302)20(3022-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--±-+=MPa 所以1σ =50MPa ，2σ =37MPa ，3σ = -27MPam ax τ=231σσ-=5.3822750=-MPa b) 一个主应力为-30MPa ，其余两方向应力状态如图所示取x σ=120MPa ， y σ= 40MPa ，x τ=-30MPa代入公式22minmax22x yx yx τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±+=30130)30(24012024012022=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=MPa 所以1σ =130MPa ，2σ =30MPa ，3σ =0MPam ax τ=231σσ-=802)30(130=--MPa 5-8单元体各面上的应力如图5-33所示。

试作三向应力图，并求主应力和最大切应力。

题5-8图解：a) 三个主应力为0,321===σσσσ 三向应力圆可作如下b) 这是一个纯剪切应力状态τσστσ-===321,0, 其三向应力圆为m ax τ=τ三向应力状态：一个主应力为零先做一二向应力状态的应力圆，得31,σσ再由21,σσ和32,σσ分别作应力圆 三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态5-9二向应力状态如图5-34所示。