对勾函数图象性质
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对勾函数图象性质
对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图
一、对勾函数f(x)=ax+ b
x
的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+b
x
（接下来
写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：
当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二)对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：
当x>0时，f(x)=ax+b
x ≥2√ab(当且尽当ax=b
x
时取等号)，此时x=
√b a。

当x<0时，f(x)=ax+b
x ≤−2√ab(当且尽当ax=b
x
时取等号)，此时x=
−√b
a。

即对勾函数的定点坐标：A:(√b
a ,2√ab)、B:(−√b
a
,−2√ab)
a>0 b>0 a<0 b<0
对勾函数的图像（ab同
对勾函数的图像（ab异号）
(三) 对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四)
对勾函数的单调性
(五)
对勾函数的渐进线
(六)
对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，
二、类对勾函数性质探讨
函数x
b
ax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。

在时且00≠≠b a 有如下几种情况：(1)0,0<>b a (2)0,0><b a (3)0,0>>b a (4)0,0<<b a 设ax y =1，x b
y =
2，则x
b ax y y y +=+=21，其定义域为{}0,|≠∈x R x x 且 (1)0,0<>b a 时，ax y =1，x
b
y =2在),0(),0,(+∞-∞上分别单调递增。

故x
b
ax y y y +
=+=21
在),0(),0,(+∞-∞为单调递增函数。

(2)0,0><b a 时，ax y =1，x
b
y =
2在),0(),0,(+∞-∞上分别单调递减。

X
故x
b
ax y y y +
=+=21在),0(),0,(+∞-∞为单调递减函数 (3)0,0>>b a 图像略
1当0>x 时，01>=ax y ，02>=
x b
y ab x
b ax x b ax y y y 2221=⋅≥+=+=。

当且仅当x b
ax =
，即a
b x =取等号。

2当0<x 时 01<=ax y ，02<=
x
b
y ab x
b ax x b ax x b ax y y y 22)(21-=⋅-≤-+--=+
=+=，当且仅当x b
ax =，即a
b x -=（因为0<x ，故舍掉a b x =）取等号。

4)0,0<<b a
1当0>x 时，01<=ax y ，02<=x
b y ab x
b
ax x
b ax x
b ax y y y 22
)(21-=⋅
-≤-+--=+=+=。

当且仅当x b
ax =
，即a
b x =取等号。

2当0<x 时 01>=ax y ，02>=
x
b
y ab x
b
ax x b ax y y y 2221=⋅=≥+
=+=，当且仅当x b
ax =
，即a
b x -=取等号。

四、对勾函数练习： 1．若 x>1.求1
1
-+
=x x y 的最小值 2. 若 x>1. 求12
22-+-=x x x y 的最小值
3. 若 x>1. 求1
1
2-+-=x x x y 的最小值
4. 若 x>0. 求x
x y 2
3+
=的最小值
5.已知函数)),1[(22+∞∈++=
x x a
x x y （1） 求的最小值时，求)(2
1
x f a =
(2)若对任意x ∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a 范围
6.: 方程sin 2
x －asinx+4=0在[ 0 ,
2π
]内有解 ，则a 的取值范围是__________
7. 函数()1027y x x x =+
≤≤的最小值为____________；函数()10
27y x x x
=-≤≤的最大值为_________。

8.函数x
x y 4
32-
-=的最大值为 。

9、若14<<-x ，则2
22
22-+-=x x x y 的最值是 。

10.函数x x y 22
sin 4sin 9
+=
的最小值是 。

11.若不等式222
9t
t a t t +≤≤+在(]2,0∈t 上恒成立，则a 的取值范围是 。

12. 求函数()()11
1612>+++=x x x
x x x f 的最值。

13. 的值域时，求，
当1
42)()10(+=∈x x
x f x 14. 的值域求3
1
)(2
2++++=x x x x x f。