X 服从参数为p 的0-1分布,可用如下表示
方法: f (x, p) px(1 p)1x, x 0,1
设有放回地抽取一个容量为 n 的样本
其样本值为 样本空间为
{(x1, x2,, xn ) xi 0,1, i 1,2,, n}
的联合分布为
若抽样是无放回的,则前次抽取的结果 会影响后面抽取的结果.例如
若总体X 的密 d.f.为 f( x),则样本 的联合 d.f.为
n
f总(x1, x2,, xn ) f (xi ) i1
例如 设某批产品共有N 个,其中的次品数
为M, 其次品率为
pM /N
若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它. 从这批产品中任取一个产品,用随机变量 X来描述它是否是次品:
P(X 2
1
X1
1)
M N
1 1
P( X 2
1
X1 0)
M N 1
p N p
1
1 N
所以, 当样本容量 n 与总体中个体数目N 相比很小时, 可将无放回抽样近似地看作 放回抽样.
Hale Waihona Puke 统计量定义设(X1, X 2,,是X取n ) 自总体X 的一个样本,
g(r1, r2,, rn )
为一实值连续函数,且不含有未知参数,
(1.7143) (1.1429)
0.8239
例3 设总体X 的概率密度函数为
x
x 1
f ( x) 0
x 1
( X1, X 2,, X50) 为总体的样本,求
(1) X 的数学期望与方差 (2) E(S 2 )
(3) P( X 0.02)
解(1) E( X ) E( X )
1
x x dx 0
则称随机变量g( X1, X 2,, X n )为统计量. 若 (x1, x2,, xn ) 是一个样本值,
称
为统计量
的一个样本值
例 X ~ N(, 2是) , 未,知2参数, (X1, X 2,, X n ) 是一样本, 则
是统计量, 其中
但
不是统计量.
若 , 已知,则为统计量
常用的统计量
设
则称统计量
为顺序统计量.
其中,
称
为极差
注 样本方差 与样本二阶中心矩
1） 关系式
的不同
推导
故
2）
推导 设
则
例1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取 10件, 测得其重量为(单位: 公斤):
210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199
求这组样本值的均值、方差、二阶原点 矩与二阶中心矩.
1
D(X ) 1 D(X ) 1 E(X 2 )
50
50
1 2 1 x2 x dx 1
50 0
100
(2) E(S 2 ) D(X ) E(X 2 ) 1/ 2.
近似
(3) X ~ N (0,0.01) 由中心极限定理
P( X 0.02) 1 P( X 0.02)
21
0.02 0.1
解令
则
例2 在总体 X ~ N(52中, 6.3,2随) 机抽取一个容量 为36的样本,求样本均值 X落在50.8到53.8 之间的概率.
解 X ~ N(52, 6.32 / 36) 故 P(50.8 X 53.8)
53.8 52 50.8 52 6.3/ 6 6.3/ 6
(2) X1, X 2 ,相,互X独n 立
则称
为简单随机样本.
一般,对有限总体,放回抽样所得到的样 本为简单随机样本,但使用不方便,常用 不放回抽样代替.而代替的条件是
N / n 10.
总体中个体总数 样本容量
设总体 X 的分布函数为F (x),则样本 ( X1, X 2,, X n ) 的联合分布函数为
样本 —— 从总体中抽取的部分个体. 用 (X1, X2,, Xn ) 表示, n 为样本容量.
称 (x1, x2,为, x总n )体 X 的一个容量为n的样本
观测值,或称样本的一个实现.
样本空间 —— 样本所有可能取值的集合.
简单随机样本
若总体 X 的样本 ( X1, X 2,满,足X n:)
(1) X1, X 2,与,XX有n 相同的分布
第六章 数理统计的基本概念
第六章 数理统计的基本概念
描述统计——学
数 理
对随机现象进行观测、试验，
统
以取得有代表性的观测值
计 推断统计—学—
的
对已取得的观测值进行整理、
分
分析,作出推断、决策,从而
类
找出所研究的对象的规律性
推断 统计学
参数估计 (第七章) 假设检验 (第八章) 方差分析 (第九章) 回归分析 (第九章)
§ 6.1 基本概念
总体和样本
总体 —— 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标
的全体,它是一个随机变量(或多维随机变 量).记为X .
X 的分布函数和数字特征称为总体的 分布函数和数字特征.
个体 —— 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机
变量 X 的某个取值.用 表Xi示.
0
21 Φ0.2
0.8414
作业 习题六 4,7
是来自总体 X 的容量
为 n 的样本,称统计量
为样本均值
为样本方差
为样本标准差
为样本的k 阶原点矩
(4)
1n Bk n i1
Xi
X
k 为样本的k 阶中心矩
例如
A1 X
B2
n 1S2 n
1 n
n i 1
Xi X
2 Sn2
(5) 顺序统计量与极差
设
为样本,
为样本值,且
当
取值为
时,
定义 r.v.