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导数知识点归纳及应用 文科辅导

导数知识点归纳及应用一、相关概念1.导数的概念略二、导数的运算1.基本函数的导数公式:①0;C '=(C 为常数)②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=;④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 例1:下列求导运算正确的是 ( )A .(x+211)1x x +=' B .(log 2x)′=2ln 1x C .(3x )′=3x log 3e D . (x 2cosx)′=-2xsinx2.导数的运算法则法则1:(.)'''v u v u ±=±法则2:.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则.)(''Cu Cu = 法则3:='⎪⎭⎫ ⎝⎛v u 2''v uv v u -(v ≠0)。

3.复合函数求导三、导数的几何意义函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。

也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f ’(x 0)。

相应地,切线方程为y -y 0=f /(x 0)(x -x 0)。

例:曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ,则0p 点的坐标为( )A .(1,0)B .(2,8)C .(1,0)和(1,4)--D .(2,8)和(1,4)--四、导数的应用1.函数的单调性与导数(1)如果'f )(x 0>,则)(x f 在此区间上为增函数;如果'f 0)(<x ,则)(x f 在此区间上为减函数。

(2)如果在某区间内恒有'f 0)(=x ,则)(x f 为常数。

例:函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A .),2(+∞B .)2,(-∞C .)0,(-∞D .(0,2) 2.极点与极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;例:函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( )A .2B .3C .4D .53.最值:在区间[a ,b]上连续的函数f )(x 在[a ,b]上必有最大值与最小值。

但在开区间(a ,b )内连续函数f (x )不一定有最大值,例如3(),(1,1)f x x x =∈-。

函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。

函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值。

例:函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是_________、____________.(数学选修1-1)第一章 导数及其应用[基础训练]一、选择题3.函数3y x x 的递增区间是( )A .),0(+∞B .)1,(-∞C .),(+∞-∞D .),1(+∞4.32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于( ) A .319 B .316 C .313 D .310 6.函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为( )A .72B .36C .12D .0二、填空题1.若3'0(),()3f x x f x ==,则0x 的值为_________________;2.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________;3.函数sin x y x=的导数为_________________; 4.曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________;5.函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题1.求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

3.求函数543()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。

4.已知函数23bx ax y +=,当1x =时,有极大值3;(1)求,a b 的值;(2)求函数y 的极小值。

●经典例题选讲例1. 已知函数)(x f x y '=的图象如图所示(其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数),下面四个图象中)(x f y =的图象大致是 ( )例2. 已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P (0,2),且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .(Ⅰ)求函数)(x f y =的解析式;(Ⅱ)求函数)(x f y =的单调区间.例4. 设函数()32()f x x bx cx x R =++∈,已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

(Ⅰ)求b 、c 的值。

(Ⅱ)求()g x 的单调区间与极值。

例5. 已知f (x )=c bx ax x +++23在x=1,x=32-时,都取得极值。

求a 、b 的值。

例7:已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈(1) 当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率;(2) 当23a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值。

导数知识点归纳及应用 教师一、相关概念1.导数的概念略二、导数的运算1.基本函数的导数公式:①0;C '=(C 为常数)②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=;④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 例1:下列求导运算正确的是 ( )A .(x+211)1x x+=' B .(log 2x)′=2ln 1x C .(3x )′=3x log 3e D . (x 2cosx)′=-2xsinx [解析]:A 错,∵(x+211)1xx -=' B 正确,∵(log 2x)′=2ln 1x C 错,∵(3x )′=3xln3D 错,∵(x 2cosx)′=2xcosx+ x 2(-sinx)2.导数的运算法则法则1:(.)'''v u v u ±=±法则2:.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则.)(''Cu Cu = 法则3:='⎪⎭⎫ ⎝⎛v u 2''v uv v u -(v ≠0)。

四、导数的几何意义函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。

也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f ’(x 0)。

相应地,切线方程为y -y 0=f /(x 0)(x -x 0)。

例:曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ,则0p 点的坐标为( )A .(1,0)B .(2,8)C .(1,0)和(1,4)--D .(2,8)和(1,4)--四、导数的应用1.函数的单调性与导数(1)如果'f )(x 0>,则)(x f 在此区间上为增函数;如果'f 0)(<x ,则)(x f 在此区间上为减函数。

(2)如果在某区间内恒有'f 0)(=x ,则)(x f 为常数。

例:函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A .),2(+∞B .)2,(-∞C .)0,(-∞D .(0,2) [解析]:由x x x f 63)(2/-=<0,得0<x<2∴函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为(0,2)2.极点与极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;例:函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( )A .2B .3C .4D .5[解析]:∵323)(2/++=ax x x f ,又3)(-=x x f 在时取得极值∴0630)3(/=-=-a f则a =53.最值:在区间[a ,b]上连续的函数f )(x 在[a ,b]上必有最大值与最小值。

但在开区间(a ,b )内连续函数f (x )不一定有最大值,例如3(),(1,1)f x x x =∈-。

函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。

函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值。

例:函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 .[解析]:由33)(2'-=x x f =0,得1±=x ,当1-<x 时,)(/x f >0,当11<<-x 时,)(/x f <0,当1>x 时,)(/x f >0,故)(x f 的极小值、极大值分别为1)1(3)1(-==-f f 、,而1)0(17)3(=-=-f f 、故函数13)(3+-=x x x f 在[-3,0]上的最大值、最小值分别是3、-17。

(数学选修1-1)第一章 导数及其应用[基础训练组]一、选择题3.函数3y x x 的递增区间是( )A .),0(+∞B .)1,(-∞C .),(+∞-∞D .),1(+∞4.32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于( ) A .319 B .316 C .313 D .310 6.函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为( )A .72B .36C .12D .0二、填空题1.若3'0(),()3f x x f x ==,则0x 的值为_________________;2.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________;3.函数sin x y x=的导数为_________________; 4.曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________;5.函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

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