2012中考数学复习《圆的证明与计算》专题圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

一、考点分析：1.圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,圆与相似圆与面积圆与切线动态圆三、解题秘笈：1、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。

在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。

其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

四、范例讲解：（一）圆与相似1.（本小题满分8分）（2011山东滨州，22，8分）如图，直线PM 切⊙O 于点M,直线PO 交⊙O 于A 、B 两点，弦AC ∥PM, 连接OM 、BC .求证：（1）△ABC ∽△POM;(2)22OA OP BC g .2、（2011山东日照）．（本题满分9分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．求证：（1）∠AOC =2∠ACD ；（2）AC 2＝AB ·AD ．3、（2011山东烟台，25，12分）已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点A 、B 、G 重合），直线DE 交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P .设⊙O 的半径为r .（1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r 2（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图2点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.A B C D E FP .O G （图1） .A B C D E .OG （图2）（二）圆与面积4、（2011•东营）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD=120°，四边形ABCD 的周长为15． （1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．5．（2011山东莱芜）(10分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，DE ＝3，连接BD ，过点E 作EM ∥BD ，交BA 的延长线于点M ．(1)求⊙O 的半径；(2)求证：EM 是⊙O 的切线；(3)若弦DF 与直径AB 相交于点P ，当∠APD ＝45º时，求图中阴影部分的面积．6、（2011•临沂）如图．以O 为圆心的圆与△AOB 的边AB 相切于点C ．与OB 相交于点D ，且OD=BD ，己知sinA=，AC=．（1）求⊙O 的半径：（2）求图中阴影部分的面枳．7、（2011山东枣庄）．(本题满分8分)如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，且AC =CD ，∠ACD =120°.（1）求证：CD 是O ⊙的切线； （2）若O ⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积.AMDEC O P BFA P C OB ED（三）圆与切线 8.（2011山东菏泽）（本题10分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ,AD 交B C 于点E ,AE =2，ED =4,(1)求证:△ABE ∽△ADB ; (2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ,使得BF =BO ,连接F A ,试判断直线F A 与⊙O 的位置关系，并说明理由.9．（2011山东聊城）(8分)如图，AB 是半圆的直径，点O 是圆心，点C 是OA 的中点，CD⊥OA 交半圆于点D ，点E 是BD ⌒的中点，连接AE 、OD ，过点D 作DP ∥AE 交BA 的延长线于点P ． (1)求∠AOD 的度数；(2)求证：PD 是半圆O 的切线．10．（2011山东淄博）(9分)已知：△ABC 是边长为4的等边三角形，点O 在边AB 上， ⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ，EF ⊥AC ，垂足为F.（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）当直线DF 与⊙O 相切时，求⊙O 的半径.（四）圆与新题型11． （2011山东德州）(本题满分10分) ●观察计算当5a =，3b =时，2a b+与ab 的大小关系是__________． （第18题图）DO CEB当4a =，4b =时， 2a b+__________． ●探究证明如图所示，ABC ∆为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD AB ⊥于D ，设AD a =，BD =b ．（1）分别用,a b 表示线段OC ，CD ；（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）． ●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b+____________． ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．（五）圆与动点 12．（2011山东济宁）（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.x(第23题)A B13．（2011山东德州） (本题满分12分) 在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(32x xy =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ． （1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKP A 的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ，B ，C 的坐标．②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由．1、【答案】证明：（1）∵直线PM 切⊙O 于点M ，∴∠PMO=90°………………1分 ∵弦AB 是直径，∴∠ACB=90°………………2分 ∴∠ACB=∠PMO ………………3分∵AC ∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分 ∴△ABC ∽△POM ………………5分(2) ∵ △ABC ∽△POM, ∴AB BCPO OM =………………6分 又AB=2OA,OA=OM, ∴2OA BCPO OA=………………7分 ∴22OA OP BC =g ………………8分2、答案．(本题满分9分) 证明：（1）∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD =90°，即∠ACD +∠ACO =90°．…① …………………………………………2分AP23y x=xyK O图1∵OC=OA ，∴∠ACO =∠CAO ， ∴∠AOC =180°-2∠ACO ，即21∠AOC +∠ACO =90°. …②……………4分 由①，②，得：∠ACD -21∠AOC =0，即∠AOC =2∠ACD ；………………5分 （2）如图，连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°．……………6分 在Rt △ACD 与△Rt ACD 中，∵∠AOC =2∠B ，∴∠B =∠ACD ，∴△ACD ∽△ABC ，………………………8分 ∴ACADAB AC =，即AC 2=AB ·AD ． ………9分 3、【解】（1）证明：连接FO 并延长交⊙O 于Q ，连接DQ . ∵FQ 是⊙O 直径，∴∠FDQ ＝90°. ∴∠QFD ＋∠Q ＝90°. ∵CD ⊥AB ，∴∠P ＋∠C ＝90°. ∵∠Q ＝∠C ，∴∠QFD ＝∠P .∵∠FOE ＝∠POF ，∴△FOE ∽△POF . ∴OE OF OF OP =.∴OE ·OP ＝OF 2＝r 2. （2）解：（1）中的结论成立.理由：如图2，依题意画出图形，连接FO 并延长交⊙O 于M ，连接CM . ∵FM 是⊙O 直径，∴∠FCM ＝90°，∴∠M ＋∠CFM ＝90°. ∵CD ⊥AB ，∴∠E ＋∠D ＝90°. ∵∠M ＝∠D ，∴∠CFM ＝∠E.∵∠POF ＝∠FOE ，∴△POF ∽△FOE . ∴OP OF OF OE=，∴OE ·OP ＝OF 2＝r 2. 4、解答：解：（1）∵AD ∥BC ，∠BAD=120°．∴∠ABC=60°． 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30° ∴==，∠BCD=60° ∴AB=AD=DC ，∠DBC=90°又在直角△BDC 中，BC 是圆的直径，BC=2DC ．∴BC+BC=15 ∴BC=6∴此圆的半径为3．（2）设BC 的中点为O ，由（1）可知O 即为圆心． 连接OA ，OD ，过O 作OE ⊥AD 于E ． 在直角△AOE∴OE=OA•cos30°=S△AOD =×3×=．∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣=﹣=．5、答案：解：连结OE，∵DE垂直平分半径OA∴OC=1122OA OE=,1322CE DE==∴∠OEC=30°∴323 cos3032ECOE===︒（2）由（1）知：∠AOE=60°，»»AE AD=,∴1302B AOE∠=∠=︒∴∠BDE=60°∵BD∥ME，∴∠MED=∠BDE=60°∴∠MEO=90°∴EM是⊙O的切线。