以施工导流工程为例： 设施工全过程防洪年限N年中，实际遭遇超
标准洪水I年，设计施工洪水频率为P，若允许超 过设计标准的洪水次数为z，则有： 设计施工洪水Xp的重现期为
即：
随机安全度
式中：R称为随机风险度
当N，Z确定之后，则S~P（或S~T）的关系可 求得。
对N>10，T<15时，上式可用泊松分布表达， 近似可以写为：
由此可以看出，围堰只用一年和用三年相比，若 要承受同样的风险，则设计的重现期后者比前者 更长。 重现期为T年，围堰使用期为N年内都不出现重现 期为T的洪水的概率则为（1-1/T)N，风险度R则 为：
或
的T>10年，R<50%的情况下，则可简化为：
或
在风险度R和施工年限N已给定的条件下，设 计施工洪水频率P（或重现期T）立即可以求 得。这样可以在施工年限和设计洪水组合上考 虑经济与安全的统一。
失效的概率Pf是在整个区间（0， ）上R小于S 的概率，所以有
同理，还可写成 ：
3、可靠度与可靠指标
仍以R和S均为正态随机变量的极限状态方程为例 有
将正态分布的随机变量Z转换成标准正态分布随 机变量Y 有
引入符号 并令
4、计算可靠指标的两个常用公式
5、可靠指标与安全系数的关系
a.可靠指标可以反映变量的随机性， 能够更加真实地反映系统的风险情况。
2020/7/18
风险分析 第三章 风险估算
• T被理解为首次发生时间的期望值更好。
• 首次发生时间：从现在开始首次发生指定
事件（即
)的时间间隔，是一个随机
变量。
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风险分析 第三章 风险估算
• 显然，对于防洪系统（水库、围堰、河堤 等）在运行过程中，要么发生超标准洪水 ，要么不发生，二者必居其一。因此可以 用二项分布来表达。
水利工程风险分析
2020年7月18日星期六
水利工程中风险的定义： 在规定的时间和规定的条件下，水利工程
不能够完成预计功能的概率。
水利工程中可靠度的定义： 系统在规定的时间和规定的条件下，完成 预定功能的概率。
2020/7/18
风险分析 第三章 风险估算
• 规定的时间：在设计使用期内 • 规定的条件：规定的运行工况下 • 预定功能：根据不同的工程，功能不同
这里：
因此在Z=0时，则得到：
或
根据上两式，在给定风险度R及施工防洪年限N 以后，则可算出设计频率P或设计重现期T了。 可以看出，工期愈长，则遭遇超设计标准洪水的 几率就愈大。
例如：当围堰的使用期为N=1年或N=3年，若风 险度R同取为10%，则有： 围堰用一年，N=1年，
围堰用三年，N=3年，
• 参考文献：论施工导流标准，肖焕雄，水 力发电学报，1987年第3期。
2020/7/18
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3.2 抗洪能力为随机变量的风险分析
实际上，水文事件和抗洪能力都是随机变量， 亦即荷载和抗力都是随机变量。那么风险可以定 义为
记
则破坏可以定义为
一般R，S是独立的、不同分布的随机变量；Z 的分布较难推出。先考虑下面的情况。
随机变量，则下面的随机函数
称为系统的功能函数
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当 Z>0时，系统可以完成规定功能， 处于可靠状态
当 Z<0时，系统丧失规定功能， 处于失效状态
当 Z=0时，系统处于临界状态， 或称为极限状态
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荷载和抗力
• 荷载可以理解为使系统失去中规定功能的 影响因素
b.可靠指标可以反映随机变量的离散 程度，更加合理。
3.3 一次二阶矩法
• 结构功能函数大多是非线性函数，且不服从正 态分布。不能直接计算结构可靠指标，而采用 近似计算法。
• 在通常情况下，只有一阶矩(均值)和二阶矩( 方差)较容易得到。
• 一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清 楚时，采用只有均值和标准差的数学模型去求 解结构可靠度的方法。
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系统的极限状态
• 整个系统或系统的某一部分超过某一特定 状态时，系统就不能满足设计规定的某一 功能要求，此特定状态称为该系统的极限 状态。
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功能函数
• 系统的极限状态可通过功能函数定义
设 X1，X2 ，……，Xn 为影响系统功能的n个
准差分别为：
用均值一次二阶矩法求杆的可靠性指标β。
解题步骤：
①给出极限状态方程 ②求偏导，给出均值泰勒展开线性化方程 ③求均值 ④求标准差
⑤求可靠性指标β
解：P为常量，fy 与d 为随机变量。
用极限载荷表示的极限状态方程为： 所以有：
线性化后的极限状态方程为： 方程为：
• 该法将功能函数 在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求 解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩。
泰勒级数
定义 如果函数 f (x)在 x0 的某邻域内是存在任
意阶导数,则幂级数
称为函数 f (x)在x0处的泰勒级数.
• 不考虑随机变量的实际分布，给出有关结 构构件可靠度的解析表达式，采用泰勒级 数在平均值（中心点）处展开，进行分析 和计算，称为均值一次二阶矩法。
• 而抗力则可理解为使系统保持可靠状态的 影响因素。
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3.1抗洪能力为常值的风险分析
抗洪能力为常值，即抗力为常值，非随机变量。而洪水的 值（荷载）为随机变量。
假设洪水设计值x0对应的超过概率p是已确定的值
以上定义的
在水文计算中叫重现期，含义为平均意
义上的发生间隔。
1、设R和S都服从正态分布
则 Z的概率密度函数为
的正态分布
概率密度如图
2、R,S为非正态分布随机变量 概率密度函数分别为 fR(r) 和 fS(s)
失效概பைடு நூலகம்依然可以表示为
先考虑抗力落在区间 ds内的概率，显然
而抗力R小于荷载S 的概率为
假定R和S为相互独立的随机变量，则根据概率 的乘法定理，在S落在ds的时候，R小于S的概率 应为
1、均值一次二阶矩法
• 在早期结构可靠性分析中，假设线性化点 就是均值点 ，此时，极限状态方程为：
•
• • 式中
的对应均值
表示随机变量
设各随机变量统计独立，功能函数Z的均值mz ，
和标准差σz可由下式求得：
例题8：圆截面直杆，承受拉力P=100kN，已知材 料屈服强度fy的均值及标准差、杆的直径均值和标