(f ) 称X是局部紧的,如果X上的每一点存在 邻域它的闭包是紧的.
显然每个紧空间都是局部紧的。 在欧式空间Rn中，E是紧集 E是有界闭集。
2.4定理 在拓扑空间X中，设E是紧集F是闭集，
如果F K ,则F是紧的。
证明 设V是F的一个开覆盖，W Fc,因为F是闭集， 所以V UW 是K的一个开覆盖，因为K是紧集，
V
对任意实数 ,
当 0时， x : V ( x) X ,是开集， 当 1时， x : V ( x) ,是开集，
当0 1时， x : V ( x) V ,是开集，
所以V 是下半连续的。
同理可证闭集的特征函数是上半连续的。
实分析与复分析
Rudin
第二章 正Borel测度
第二章 正Borel测度
拓扑学预备知识 2.3定义 设X如1.2节中定义的拓扑空间，
(a) 称E X是闭集,如果Ec是开集,
（显然，X是即开又闭的，闭集的有限并是闭集， 闭集的任意交是闭集）
(b) E X的闭包E是包含E的最小闭集,
E=I F闭: orff空间紧子集的集簇，
I K ,则K 中存在有限个集，它们
的交是空的。
I 证明 令V Kc .K1是K 中的一个元，因为 K ，
所以对x K1,x使得x Kx , x Kcx Vx ,
且U W .
证明 设q K,因为X是Hausdorff空，所以存在
互不相交的开集U p ,Vq，使得p U p , q Vq，
所以 Vq : q K ,Uq , p Uq ,Uq I Vq ,
是K的一个开覆盖,因为K是紧集，
所以存在K有限覆盖，K Vq1 UL UVqn ,
证明 (a) 由直线上开集的构造，直线上开 集至多是可列个构成区间的并。所以 只需对开区间证明就行了。
对任意实数 , , ,
f 1(( , )) x : f ( x) x : f (x) I x : f (x) .
(b) 设χ 是开集V上的特征函数,
(c) 设{ft}t∈Λ是下半连续函数簇,且{gt}t∈Λ是
上半连续函数簇，f

sup
t
ft
,
g

inf
t

gt
,
对任意实数 ,
x : f ( x) U x : ft ( x) ,
t
x : g( x) U x : gt ( x) .
对任意的实数，x : f ( x) 是开集，
则称f 为下半连续的；若对任意的
实数，x : f ( x) 是开集，则称f 为
上半连续的。
推论 (a) 实函数连续当且仅当上半连续且 下半连续。
(b) 开集的特征函数是下半连续的，闭集 的特征函数是上半连续的； (c) 下半连续函数簇的上确界是下半连续 且上半连续函数簇的下确界是上半连续的。
令U Uq1 I L I Uqn ,W Vq1 UL UVqn ,
U ,W 是开集,且p U , K W ,且U W .
推论 (a) Hausdorff空间紧子集是闭集。
(b) Hausdorff空间中，如果F是闭集， K是紧集，则F K是紧集。
证明 由定理2.5，紧集K的余集是开集，所以K是闭集。
所以存在K有限覆盖，K W UV1 UL UVn ,
F V1 UL UVn ,
则F是紧的.
推论 若A B,且B是紧的，则A也是紧的。
2.5定理 设X是Hausdorff空间，K X , K是紧集,
且 p K c ,则存在开集U ,W ,使得p U , K W ,
K U , K是紧集.则存在一个具有紧闭包的
开集V ,使得K V V U . 证明 因为X是局部紧，x K ,x开领域Ux
Ux是紧的，则Ux：x K ,Ux是紧的
是K的一个开覆盖,因为K是紧集，
所以存在K有限覆盖，K U x1 UL UU xn ,
n
令G UU xi ,则K G G. i 1 如果U X ,则取V G.
n
使得I C I G I W pi . i 1
取V
GI
n
I

i
W
1
pi

,因为K

G,K
W pi 则K
V,
n
因为U c I V C I G I I W pi
n
i 1
I C I G I W pi . i 1
V U.
2.8定义 设f 为拓扑空间上的广义实函数，若
(c) 称K X是紧的,如果K的每一个开覆盖
都存在有限子覆盖.
如果V 是一开集族，K UV，
U 都存在 V
的有限子集族 Vi
n

使得K

i 1
n
Vi .
i 1
特别，如果X本身是紧的,则X称为紧空间.
(d) 点p X的邻域是X的任意包含p的开集.
(e) 称X是Hausdorff的，若对p, q X且p q, 点p X的邻域U,和点q的邻域V 使得U I V .
所以 Vx : x K1, x Vx Kcx ,
是K1的一个开覆盖,因为K1是紧集，
所以存在K1有限覆盖，K1 V1 UL UVn ,
K1 V1 UL UVn ,
K1 I K1 I L I Kn .
2.7 定理 设U是局部紧Hausdorff空间X的开集，
否则，令C U c K c C .对p C ,
由定理2.5，存在开集Wp ,使得K Wp , p W p ,
所以 C I G I W p : p C, p W p 是紧集的集簇， 且 I C I G I W p : p C , p W p =，
由定理2.6存在有限个，p1, p2,L pn C,