普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）一．选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 共60分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） A ．12y x =-B ．12y x =C ．2y x =-D ．2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 54cos =x ， 则2tg x = （ ） A ．247B ．247-C ．724D ．724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）A ．18B ．18-C ．8D ．8- 4．等差数列{}n a 中， 已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ）A ．48B ．49C ．50D ．515．双曲线虚轴的一个端点为M ， 两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=︒， 则双曲线的离心率为（ ）AB C D 6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ， 若1)(0>x f ， 则0x 的取值范围是 （ ） A ．（1-， 1） B ．（1-， ∞+） C ．（∞-， 2-）⋃（0， ∞+）D ．（∞-， 1-）⋃（1， ∞+）7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ） A ．lg 2B ．lg32C ．1lg32D ．1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） A ．0B ．4πC ．2πD ．π9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ）AB ．2C 1D 110．已知圆锥的底面半径为R ， 高为3R ， 它的内接圆柱的底面半径为34R ， 该圆柱的全面积为（ ）A ．22R πB ．249R π C ．238R π D ．252R π11．已知长方形的四个顶点A （0， 0）， B （2， 0）， C （2， 1）和D （0， 1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后， 依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）若40P P 与重合， 则tg θ= （ ）A ．31B ．52C ．21D ．112．一个四面体的所有棱长都为2， 四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为（ ） A ．π3B ．π4C ．π33D ．π6普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题， 每小题4分， 共16分把答案填在题中横线上13x <的解集是____________________．14．92)21(xx -的展开式中9x 系数是 ________ ．15．在平面几何里， 有勾股定理：“设22,,ABC AB AC AB AC BC +=V 的两边互相垂直则”拓展到空间， 类比平面几何的勾股定理， 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系， 可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC ACD ADB 、、两两互相垂直， 则______________________________________________．” 16．如图， 一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色， 要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择， 则不同的着色方法共有 种_______________________数字作答）三、解答题：本大题共6小题， 共74分， 解答应写出文字说明， 证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱111111112ABCD A B C D AB AA E CC F BD -==，，，点为中点，点为点中点（Ⅰ）证明11EF BD CC 为与的公垂线 （Ⅱ）求点1D BDE 到面的距离18．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60， 且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项， 求||z ．EDBACBD CAFM19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1111,3(2).n n n a a a n --==+≥ （Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）证明2n n a =20．（本小题满分12分）已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中， 画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象 21．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风， 据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南(cos θθ=方向300km 的海面P处， 并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动， 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ， 并以10km/h 的速度不断增大， 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22．（本小题满分14分） 已知常数0>a ， 在矩形ABCD 中， 4=AB ， a BC 4=， O 为AB 的中点，东O点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动， 且DA DC CD CF BC BE ==， P 为GE 与OF 的交点（如图）， 问是否存在两个定点， 使P 到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在， 请说明理由普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文）参考解答及评分标准说明：一． 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力， 并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生物解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二． 对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定部分的给分， 但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分．三． 解答右端所注分数， 表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算． 每小题5分， 满分60分．1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分,满分16分．13．]4,2( 14．221-15．2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ 16．72 三、解答题：本大题共6小题， 共74分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 17．（I ）证明：取BD 中点M ， 连结MC ， FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1， 且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线 （II ）解：连结ED 1， 有V由（I ）知EF ⊥面DBD 1， 设点D 1到面BDE 的距离为d ，则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF ． ∵AA 1=2·AB=1．22,2====∴EF ED BE BD 23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S 故点D 1到平面BDE 的距离为332． 18．解：设z=2),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数οο+ 2,r z z r z z ==+∴由题设|2||||1|2-⋅=-z z z即||)1)(1(=--z z z 42122+-=+-r r r r r12120122--=-==-+r r r r 解得（舍去） 即|z|=12-19．（I ）解∵1343,413,12321=+==+=∴=a a a（II ）证明：由已知故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ =.213133321-=++++--n n n Λ所以213-=n n a20．解（I ）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数)(x f 的最小正周期为π， 最大值为21+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区 间]2,2[ππ-上的图象是22．解：根据题设条件， 首先求出点P 坐标满足的方程， 据此再判断是否存在两定点， 使得点P 到定点距离的和为定值．按题意有A （－2， 0）， B （2， 0）， C （2， 4a ）， D （－2， 4a ）设)10(≤≤===k k DADCCD CF BC BE ， 由此有E （2， 4ak ）， F （2－4k ， 4a ）， G （－2， 4a －4ak ）． 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ， ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ． ②从①， ②消去参数k ， 得点P （x ， y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a ，整理得1)(21222=-+a a y x ． 当212=a 时， 点P 的轨迹为圆弧， 所以不存在符合题意的两点． 当212≠a 时， 点P 轨迹为椭圆的一部分， 点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长．当212<a 时， 点P 到椭圆两个焦点),21(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值2．当212>a 时， 点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ，），（的距离之和为定值a 2．21．解：如图建立坐标系：以O 为原点， 正东方向为x 轴正向． 在时刻：t （h ）台风中心),(y x P 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-， 其中10)(=t r t+60，若在t 时， 该城市O 受到台风的侵袭， 则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x即,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t即0288362≤+-t t ， 解得2412≤≤t ． 答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭。