＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐sin 化为直角坐标 方程是什么？
x ( y 2) 4
2 2
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos圆心的坐标是 ( ,0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 圆＝sin 的圆心坐标是 ( , ) 2 2 2 所以圆心距是 2
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M

O

r x
解：如果以圆心 O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
1、圆的极坐标方程
探究： 如图，半径为 a的圆的圆心坐标为 C (a,0)(a 0) 你能用一个等式表示圆 上任意一点的极坐标 ( , )满足的条件吗？
M

O

C（a,0） A x
解：圆经过极点 O。设圆与极轴的另一个 交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么 OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... .(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式 (1) 2
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 2 2 10 cos( ) 6 所以圆心为 (5, ),半径为5 6


圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为 ＝2a cos( ) 此圆过极点O


3、已知一个圆的方程是 ＝5 3 cos 5 sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5 sin 两边同乘以得
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 (x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5 2 2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( , ) 满足的条件，另一方面 ，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。

极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C上任意 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 f ( , ) 0 并且坐标适合方程 f ( , ) 0的点都在曲线 C上， 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
4、以极坐标系中的点 A(1,1)为圆心， 1为半径的 圆的方程是
(
C
)
A、 2 cos( ) 4

B、 2 sin( ) 4

C、 2 cos( 1)
D、 2 sin( 1)
小节：
1、极坐标方程
2、圆的极坐标方程
作业：15页2题（3）（4）
你可以用极坐标方程直接来求吗？
三、简单曲线的极坐标方程
在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方 程 f(x,y)=0表示，曲线与方程满足如下关系： （1）曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解； （2）以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线 C上
那么，在极坐标系中， 平面曲线是否可以用 方程f ( , ) 0表示呢？