（1)如图1，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 是AB 的中点．直接写出∠BMD 与∠ADM 的倍数关系；(2）如图2，若四边形ABCD 是平行四边形, AB=2BC ，M 是AB 的中点，过C 作CE ⊥AD与AD 所在直线交于点E ．若∠A 为锐角，则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系，并证明你的结论；（1)∠BMD= 3 ∠ADM (2)分(2)联结CM,取CE 的中点F ，联结MF ，交DC 于N∵M 是AB 的中点,∴MF ∥AE ∥BC ，∴∠AEM=∠1,∠2=∠4， ……… 3分∵AB=2BC ，∴BM=BC ，∴∠3=∠4. ∵CE ⊥AE,∴MF ⊥EC ，又∵F 是EC 的中点，∴ME=MC ，∴∠1=∠2. ………。

4分 ∴∠1=∠2=∠3。

∴∠BME =3∠AEM. ………. 5分【斜边中线+倍长中线例题】已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ,DA =DE ,联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ；（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时,判断（1）中的结论是否仍然成立,并说明理由．。

解:(1）BM =DM 且BM ⊥DM ． ………2分（2）成立． ……………3分理由如下：延长DM 至点F ，使MF =MD ,联结CF 、BF 、BD ． 易证△EMD ≌△CMF ．………4分∴ED =CF ，∠DEM =∠1．∵AB =BC ,AD =DE ,且∠ADE =∠ABC =90°，∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°．MD BACEADMB C图1 图2FAMBCED4321D C B A EMME A BC D 9∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5—∠7-∠1，∠7=180°—∠6-∠9,∴∠8=360°—45°—（180°-∠6-∠9）—（∠3+∠9）=360°-45°—180°+∠6+∠9- 45°—∠9=90°+∠6 ．∴∠8=∠BAD．………5分又AD=CF．∴△ABD≌△CBF．∴BD=BF,∠ABD=∠CBF．………6分∴∠DBF=∠ABC=90°．∵MF=MD,∴BM=DM且BM⊥DM．。

…………7分如图，梯形ABCD，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，CE与BD交于F，连接AF，G为BC中点，连接DG交CF于M．证明：（1）CM=AB;(2）CF=AB+AF．(1）解∵BD⊥CD，∠DCB＝45°,∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴CD＝DB＝2，∴CB＝错误!＝2错误!，∵CE⊥AB于E，点G为BC中点,∴EG＝错误!CB＝错误!．(2)证明:证法一：延长BA、CD交于点H，∵BD⊥CD，∴∠CDF＝∠BDH＝90°，∴∠DBH＋∠H＝90°，∵CE⊥AB于E，∴∠DCF＋∠H＝90°,∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)，DF＝DH， CF＝ BH＝BA＋AH,∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°,∠HDA＝∠DCB＝45°,∴∠ADF＝∠HAD,又DF＝DH，DA＝DA，∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH，又CF＝BH＝BA＋AH ,∴CF＝AB＋AF．证法二：在线段 DH上截取CH=CA，连结DH．∵BD⊥CD,BE⊥CE,∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°． 又∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF． 又BD=CD ，BA=CH,∴△ABD≌△HCD． ∴AD=HD，∠ADB=∠HDC．又AD∥BC,∴∠ADB＝∠DBC＝45°．∴∠HDC＝45°．∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°． ∴∠ADB＝∠HDB．又AD=HD ， DF=DF,∴△ADF≌△HDF，∴AF＝HF ． ∴CF＝CH ＋HF=AB ＋AF ．【例1】 （第10讲例5）如图，AB 为O 直径，点C 在O 上，且2AC BC ==,将一块等腰三角形的直角顶点放在圆心O 处之后,将此三角形绕点O 旋转，三角形的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．图①，②,③是旋转三角形得到的图形中的3种情况．请你回答下列问题：⑴ 三角形绕点O 旋转，观察线段OD 和OE 之间有什么数量关系？并结合图②加以证明；⑵ 三角形绕点O 旋转，是否能使OBE △为等腰三角形?若能，写出OBE △为等腰三角形的所有情况中CE 的长，若不能，请说明理由；⑶ 如图④，若将三角形的直角顶点移到AB 上的点M 处，且13AM MB =∶∶，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合图④加以证明．（朝阳期末）④③②①M AC BODE AC BODEACBO D EED OCBA【解析】 ⑴ OD OE =．证明：连结OC （如图)．∵ AB 为O 直径，∴90ACB ∠=°．∵ AC BC =,∴ACB △是等腰直角三角形．∵ AO BO =,∴ CO AB ⊥,1452ACO ACB ∠=∠=°．∴ 45ACO B ∠=∠=°．又 90DOC COE BOE EOC ∠+∠=∠+∠=°， ∴ DOC BOE ∠=∠．∵ OC OB =，∴ OCD OBE △≌△．∴OD OE =． ⑵ 共有四种情况，① 当点C 与点E 重合,即0CE =时，OE OB =; ② 当点E 为CB 中点，即1CE =时，OE BE =；③ 当点E 在线段CB上，且2CE =,OB EB =; ④ 当E 在CB 的延长线上,且2CE =时，OB EB =．⑶ 13MD ME =∶∶．证明：分别过点M 作MF AC ⊥、MH BC ⊥,垂足分别是F 、H ．(如图） ∵45A B ∠=∠=°，∴ Rt Rt AFM BHM △∽△．∴ 13FM AM HM BM ==． ∵ 90C ∠=°，∴ 90FMH ∠=°．∴ 90FMD DMH EMH HMD ∠+∠=∠+∠=°． ∴ FMD EMH ∠=∠．∴ Rt Rt FMD HME △∽△． ∴13MD MF ME HM ==．在矩形ABCD 中,点P 在AD 上，AB =2,AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．（1）如图，当点E 与点B 重合时,点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；(2）将三角板从(1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由;② 直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．备用图EDO BCA解：（1)在矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒,AP =1,CD =AB =2，∴PB=,90ABP APB ∠+∠=︒． ∵90BPC ∠=︒，∴90APB DPC ∠+∠=︒． ∴ABP DPC ∠=∠． ∴ △ABP ∽△DPC ． ∴AP PBCD PC=,即12= ∴PC=．……………………………………………………………………2分 （2）① ∠PEF 的大小不变．理由：过点F 作FG ⊥AD 于点G ．∴四边形ABFG 是矩形．∴90A AGF ∠=∠=︒．∴GF=AB=2，90AEP APE ∠+∠=︒． ∵90EPF ∠=︒，∴90APE GPF ∠+∠=︒．∴AEP GPF ∠=∠．∴ △APE ∽△GFP 。

…………………………………………………………4分∴221PF GF PE AP ===． ∴在Rt△EPF 中，tan∠PEF=2PFPE=．……………………………………5分 即tan∠PEF 的值不变．∴∠PEF 的大小不变．…………………………………………………………6分 ②。

(7)分在□ABCD 中，∠A =∠DBC , 过点D 作DE =DF , 且∠EDF=∠ABD ， 连接EF 、 EC ,N 、P 分别为EC 、BC 的中点，连接NP ．（1）如图1,若点E 在DP 上， EF 与DC 交于点M , 试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；(2）如图2，若点M 在线段EF 上， 当点M 在何位置时，你在（1)中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1)中的结论。

M BDCE ANPPNA EFCDB图1 图2解:（1） NP =MN ， ∠ABD +∠MNP =180 (或其它变式及文字叙述,各1分). ………2分（2）点M 是线段EF 的中点（或其它等价写法）. 证明：如图， 分别连接BE 、CF .∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD ∥BC ，AB ∥DC ,∠A =∠DCB ， ∴∠ABD =∠BDC 。

∵ ∠A =∠DBC ，∴ ∠DBC =∠DCB .∴ DB =DC . ① ………………………3分∵∠EDF =∠ABD ,∴∠EDF =∠BDC .∴∠BDC —∠EDC =∠EDF-∠EDC 。

即∠BDE =∠CDF . ②又 DE =DF ， ③由①②③得△BDE ≌△CDF . ………………………………4分 ∴ EB =FC , ∠1=∠2.∵ N 、P 分别为EC 、BC 的中点，∴NP ∥EB ， NP =EB 21.同理可得 MN ∥FC ，MN =FC 21.∴ NP = NM . …………………………………5分∵ NP ∥EB , ∴∠NPC =∠4。

∴∠ENP =∠NCP +∠NPC =∠NCP +∠4. ∵MN ∥FC ，∴∠MNE =∠FCE =∠3+∠2=∠3+∠1。

∴ ∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠3+∠1+∠NCP +∠4=∠DBC +∠DCB =180-∠BDC =180-∠ABD .∴ ∠ABD +∠MNP =180. …………………………7分M1 32 4 PNA E FCDB。