康普顿散射公式的理论推导夏烆光（中国船级社 大连分社 辽宁 大连 116091）提要：本文从介绍康普顿实验结果入手，分别地讨论了康普顿散射的实验结果，以及经典教科书关于康普顿散射实验结果的理论推导。

并指出，在经典的理论推导中，错误地利用了光子运动的横向相对论质量。

事实上，在简化处理动量和能量的关系式中，已经彻底丢失了电子运动质量的相对论效应。

因此说，这个理论结果并不能证明爱因斯坦质能关系式正确与否。

纠正了经典教科书中的错误做法，利用广义时空相对论的质能关系式，精确地导出了康普顿散射公式的实验结果，从而间接证明广义时空相对论的质能关系式本身的正确性。

关键词：康普顿 爱因斯坦 狭义相对论 广义时空相对论 康普顿散射 光子的横质量 光子的纵质量 光的量子理论 光的波动理论引 言按照狭义相对论，只有假设电子的相对论质量为横向质量()20/1c V m m -=⊥时，才能导出康普顿散射的实验公式。

然而在康普顿散射实验中，碰撞前电子是静止的，在碰撞过程中，光子把部分动量传给了电子，从而使电子产生运动。

因为，电子的运动方向总是与其所获得动量的方向一致，所以，此时此刻，电子的相对论质量理应采用它的纵向质量()[]320///1c V m m -=而不是它的横向质量（见【1】第31～32页）。

由此可见，在现行的教科书中，用电子横向质量()20/1c V m m -=⊥来推导康普顿散射公式的做法毫无道理（参见【2】）。

就康普顿散射实验而论，碰撞后电子的运动速度一般都远小于光速（c V <<），因而，电子质量的相对论效应十分有限，所以我们完全可以近似地忽略电子质量的相对论效应，这样一来，把碰撞后电子的质量用静止质量0m 代入，根据动量υ0m p =、及广义时空相对论的能量220υ+=c c m E ，并利用电子和光子的能量守恒定律和动量守恒定律，就可以严格地导出康普顿散射实验的理论结果。

为了清晰地讨论这个问题，我们先介绍康普顿散射实验结果及其实验公式。

一 康普顿散射现象的实验公式1.1、康普顿散射的经典实验。

康普顿研究了X 射线经物质散射的实验，进一步的证实了爱因斯坦的光子概念。

散射实验与右图所示（参见【3】）：康普顿发现，在散射光中除了有与入射光波长0λ相同的射线之外，同时还出现一种波长0λλ>的射线。

这种改变波长的散射被称为康普顿效应。

我国物理学家吴有训在与康普顿共同研究中还发现：（1）波长的偏移0λλλ-=∆随散射角ϕ而异；当散射角增大时，波长的偏移也随之增加，而且随着散射角的增大，原波长的谱线的强度增大。

（2）在同一散射角下，对所有散射物质，波长的偏移λ∆都相同，但原波长的谱线强度随散射物质的原子序数的增大而增加，新波长的谱线强度随之减小。

传统的“光波理论”根本无法解释康普顿散射现象。

于是，人们转而用光的量子理论来加以解释。

1.2、康普顿散射的光量子理论解释。

康普顿效应是光子和自由电子做弹性碰撞的结果。

其具体地解释如下：若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量传给电子，散射光子的能量减少，于是散射光的波长大于入射光的波长；若光子和束缚很紧的内层电子相碰撞，光子与整个原子交换能量，由于光子质量远小于原子质量，根据碰撞理论，碰撞前后光子能量几乎不变，波长不变；因为碰撞中交换的能量与碰撞角度有关，所以波长改变与散射角度有关。

1.3、康普顿散射的定量分析。

按着光子理论弹性碰撞的观点，则有能量守恒定律：2200mc h c m h +=+νν； (1)动量守恒定律：()()()()ϕννννcos 20220⋅⋅-+=h c h c h c h m 。

…………（2） 0m 是电子的绝对静止质量，m 是电子和光子碰撞后的电子质量，矢量V 是碰撞后电子的相对速度矢量，而V 就是碰撞后电子的相对速度。

经推导和整理，最后得到：2sin 22sin 22200ϕλϕλλλc c m h ==-=∆ ………………………………………（3） 其中的()()cm c m h c 1001043.2-⨯==λ是电子的康普顿波长，或写成⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅==-=∆0222002sin 0486.02sin 22sin 2A c m h c ϕϕλϕλλλ …………（4） 此式说明：波长改变与散射物质无关，仅决定于散射角，且波长改变随散射角增大而增加。

计算的理论值与实验符合的非常好（参见【4】）。

二 传统教科书对康普顿散射公式的理论推导按着经典教科书的解释，电磁辐射通过物质被散射的辐射应与入射辐射具有相同的波长，这是由于入射辐射使物质中原子核外的电子受到一个周期性的力而以入射波的频率振荡，进而由于振荡发射同频率的电磁波。

但在康普顿散射实验中，被散射的X 射线，除了与入射波相同波长的成分外，还有波长增长的部分。

而增长的数量随散射角ϕ的不同而不同，这是经典电磁理论解释不了的现象。

康普顿用“光的量子说”给出圆满的解释，因而被称为“康普顿效应”。

2.1、光子理论的量子解释。

康普顿假定，X 射线由光子组成，光子的波长和动量满足于爱因斯坦于1905年提出的νh E =和1917年提出的λh p =两个假定。

波长为λ的光子与原子中质量为0m 的静止自由电子碰撞后，在同入射方向成ϕ角方向散射，散射波长为λ'（如右图所示）。

2.2、用光量子理论对康普顿散射实验结果的推导。

考虑到这个体系的能量和动量均守恒（参见【5】第637~639页）并注意到矢量合成法则，故有：()⎪⎭⎪⎬⎫'-==+'-p p p E c m h e e e 2νν …………………………………………………（5） 这里用e m 代表碰撞后电子的质量。

假设电子以接近光的速度运动，所以我们需要利用电子质量和动量的相对论关系式，即：V m m p e =-=201β …………………………………………（6） 式中，c V =β，201β-=m m e ，当电子的相对速度0=V 时，200c m E =…………………………………………………（7） 称为电子的静止能量。

——这就是著名的“爱因斯坦质-能关系式”。

总能量2c m E e e =和静止能量0E 之差，为电子的动能K E ,即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=111220202βc m c m c m E e K ………………………………（8） 因为1<<β，上式可以按幂级数展开为020********022.......211m p m V m c m c V c m E K =≈-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= …………………（9） 这就是经典力学“动能-动量关系式”。

——显然，问题又回到经典的牛顿力学中！由此归纳出质量为e m 的电子，在相对论意义上的静止能量、以及能量-动量关系，即⎪⎭⎪⎬⎫+==422222;c m c p E c m E e e e e e ………………………………………………（10） 利用（10）式中的能量-动量关系式42222c m c p E e e e +-，将（5）式化简为()[]4222c m c m h e e +-+'-νν ……………………………………（11） 为了方面理解，我们把（11）式两端拆分成三个步骤加以推导。

其中，第一步，（11）式的左端为：()[]()()4222222222c m h c m h c m h e e e +'-+'-'+=+'-νννννννν 第二步，（11）式右端的第一项，按着余弦定理展开为：()⎪⎪⎪⎩⎪⎨'-'+=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅'⋅-'+=-ϕννννϕννννϕcos 2cos 2cos 22222222222c h c h c h c h p p p p 第三步，（11）式右端的两项之和为：()42222cos 2c m h e +'-'+ϕνννν再回到等式（11）中，则有 ()()()42222422222cos 222c m h c m h c m h e e e +'-'+=+'-+'-'+ϕνννννννννν把上式化简后得出：()ϕννννννcos 2222222'-='-+'-h hc m h e ……………………（12） 整理等式（12）的两端，则有()()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'-'='-ϕννϕννϕννννcos 111cos 111cos 1222c m h h c m h c m e e e ……………………………………（13） 由于νλc =，将上式中最后一个式子两边同时乘以c ，得出()()ϕλλλcos 1-=-'=∆cm h e ………………………………………（14） 利用三角函数的半角公式，则上式可以改写成 ()2sin 22ϕλλλc m h e =-'=∆ …………………………………………（15） 的确，这个理论结果与康普顿散射的实验公式完全一致。

于是，传统的教科书立刻得出结论：“上述理论结果与实验相符，故康普顿散射有力地支持了光的粒子性和狭义相对论”。

——【按】其实，传统教科书的讨论，尽管在（6）式中引入了爱因斯坦的“质-能关系式”，但是经过（8）和（9）式的简化处理之后，在客观上，等于完全忽略了电子质量的“相对论效应”。

以此为基础得出的理论结果只能说明：狭义相对论质-能关系在理论推导中并没有起作用。

因此，并不能从这一点上说明“康普顿散射支持了狭义相对论”，而充其量只能说明“康普顿散射支持了光的量子性”。

顺便指出：狭义相对论根据四度速度的平方12-=i u 的定义得出222c m p i -=，并证明i p 的三个空间分量就是动量P ，而它的第4个分量（时间分量）为c E i p ⋅=4，即3,2,1p p =α，c iE p =4。

由此，爱因斯坦得出微观物体的总能量42222c m c p E +=（参见【1】第34~35页）。

在广义时空相对论中，同样导出了42222c m c p H +=，其中的H 和E 具有相同的物理意义，p 也是粒子动量的绝对值。

当粒子的绝对速度c <<υ时，其相对速度V 将和绝对速度υ趋于一致，于是则有m p mc E H 222+==。

——这就是经典力学的“能量-动量关系式”（参见【6】第239页）。

事实上，我国科技工作者，季灏先生通过“关于电子Lorentz力和能量测量的实验”指出：“电子的能量和动量满足经典力学的动量和能量定义”（参见右图）。