即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复 测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值. 当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对 值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测 量的精度.
i 1
Xi)
n2
i 1
D( Xi )
n2
C
i 1
C. n
由切比雪夫不等式 ，对任意
0,
有：
从而： 推论：
0
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi ) |
}
1 1 n
C
2
D( n
i 1
Xi)
n 2
.
1 n
1n
lim
n
P{|
n
i 1
Xi
n
i 1
E(Xi
)
|
0}
0
证毕 .
从而
E
Yn n
p,
D
Yn n
p(1 n
p) ,
所以由切比雪夫不等式，
对任意的
0 有下式成立
0
P
Yn n
p
1
2
D
Yn n
1
2
p(1 n
p)
让n 两边取极限，得
lim
n
P
Yn n
p
0
切比雪夫大数定理
定理3：
设相互独立的随机变量 X1, X2L , Xn,L
分别具有 有限的数学期望 E( X1 ), E( X2 )L , E( Xn ),L ，
第五章
第一节
切比雪夫不等式 与大数定律(13)
一、切比雪夫不等式 二、大数定律
引言: 问题 1 频率稳定性的问题
在相同条件下进行 n 次重复试验，
总是在 [0,1] 上的一个确定的常数 p 附近摆动，
fn
nA n
事件 A 发生的频率
并且随着
试验次数 n 的增大， 如何从理论上说明这一现象？
越来越稳定地趋于 p 。
及方差 D( X1 ), D( X2 )L , D( Xn ),L ，
若存在常数C使 D( Xi ) C, i 1, 2,L
则对任意>0，有
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E
Xi
0
证：
1 n
1n
E( ( n i1
Xi )
n
i 1
E( Xi )
1 n
1n
1n
D( n
也不可能保证 对一切的n N , 有
请看下面的图示:
fn p 成立。
fn
p
p
p
n
N
因此，只能求其次，去求证下面两式成立：
（2）
P| fn p | 0 或
（3）
lim P
n
|
fn
p |
0
或
为此 , 先来证明概率论中一个重要的不等式——
P| fn p | 1
lim
n
P|
fn
p
则有
P X
P
X
|x|
f
( x)dx
|x|
(
x
2
)2
f ( x)dx
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为
E( X ) 100 ,
方差为
D( x) 10 ,2 试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解:
由切比雪夫不等式有:
|
1
切比雪夫不等式.
一 . 切比雪夫不等式
定理1
（切比雪夫定理）
设随机变量
X
的数学期望
方差
E(X )
D( X ) 2 存在，则对任意的
0, 有： P
即有 P X
证:
仅就连续型随机变量的
X
2
2 1 2
2
（5）
（4）
f (x)
情形进行证明.
设 X 的概率密度函数为
f (x)
设相互独立的随机变量 X1, X2L , Xn,L 服从相同
的分布，且 E( Xi ) , D( Xi ) 2, i 1, 2L ,
则对任意>0， 有
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
0
推论说明，若对同一随机现象进行反复观测，则其平 均值与它的期望值之差的绝对值大于任意指定的小数 的概率可任意地小.这一理论正好回答了问题2.
解： 设X表示事件A在1000次独立试验中发生的次数,
则：
X ~ B(1000,0.5), E( X ) nP 1000 0.5 500 D( X ) nP(1 P) 1000 0.5 (1 0.5) 250 2.
由切比雪夫不等式有：
P{450 X 550} P{450 500 X 500 550 500}
问题 2 在精密测量时要反复测量然后再取平均值？
这样作的理论依据是什么？
对于问题1， 极限概念.
要说明频率 如果能证明
问题1 就能得以解决.
f 趋于常数 p ， n
lim
n
fn
p
自然会想到 （1）
即对任意的
0, 存在正整数N，对于
n N,有
fn p
由于
f 是随机变量，,其随机性使不论 N 取多大的值, n
P{80 X 120}
P{80 100 X 100 120 100}
P{20 X 100 20} P{| X 100 | 20} 10
1 202 0.975
例2
在每次试验中事件A发生的概率为0.5 .试用切比
雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的 的次数在450至550次之间的概率.
试验，
当 n 较大时，
事件 A 发生的频率
次试验中发生的概率 p 之差的绝对值大于任意指定正数
fn
nA n
做n 次 与在每
的概率可任意地小（接近于0）.
因此，在实践中可以通
过反复试验，
用事件发生的频率的来近似地估计它的概率.
证: Q Yn ~ B(n, p), E Yn np, D(Yn ) np(1 p),
P{50 X 500 50} P{| x 500 | 50}
1
250 502
0.9
二 . 大数定律
贝努里大数定律
定理2
设Yn是n重Bernoulli试验中事件A发生的次数，
p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意的 0有
贝努里大数定律说明，
lim
n
P
Yn n
p
Байду номын сангаас
0
在相同条件下独立地重复