中考数学重难点专题讲座第九讲几何图形的归纳,猜想,证明问题【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。

08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。

09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。

于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。

而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。

对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。

第一部分真题精讲【例1】2010，海淀，一模如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设∆B D C的面积为S，2111∆B D C的面积为S，…，∆B D C的面积为S，则S=；S=____（用3222n+1n n n2n含n的式子表示）．B1B2B3B4B5D1D2D3D4……A C1C2C3C4C5【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。

本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。

但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是∆B AC,∆B AC这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先S所代表的三2233223 3 =2 3.接下来通过总结,我们发现所求的S = 1 n + 1角形的底边 C D 是三角形 AC D 的底边,而这个三角形和△ AC B 是相似的.所以边长22 2 23 3的比例就是 AC 与 AC 的比值.于是232 32 2三角形有一个最大的共性就是高相等,为 3（连接上面所有的 B 点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。

那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。

我们发现所有的 B,C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出 D 自然是所在边上的 n+1 等分n点.例如 D 就是 B C 的一个三等分点.于是 2 2 2D C = n + 1 - 1 n n ⋅ 2 (n+1-1 是什么意思?为什么要减 1?)S∆B n +1D n C n=1 1 2n 3n D C ⋅ 3 = 3 =2 n n 2 n + 1 n + 1【例 2】2010，西城，一模在平面直角坐标系中，我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形 ABCD 的四个顶点坐标分别是 (-8 ，0) ， (0 ，4) ， (8 ，0) ， (0 ，- 4) ，则菱形 ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形 A B C D 的四个顶点坐n nnn标分别为 (-2n ，0) ， (0 ，n ) ， (2n ，0) ， (0 ，- n ) （ n 为正整数），则菱形 A B C D 能覆盖的n nnn单位格点正方形的个数为_________（用含有 n 的式子表示）．y4 BA -8O-4 DC8 x【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是 48（笑）。

这里笔3 5 7 9第一个梯形上底是 1，下底是 3，所以 S 1 = ⋅ 1 + 3)⋅ 2 = 4 .第二个梯形面积 ⋅ 5 + 7 )⋅ 2 = 12 ,第三个是 S = ⋅ 9 + 11)⋅ 2 = 20 ,至此,我们发现本题中梯形面积数值上 2 2者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。

因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被 X,Y 轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以 4 即可。

比如我们来看第二象限那个三角形。

第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为y = 12x + n ,斜率 1 意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些 RT 三角形一共有 2n/2=n2个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是 1 ?而且这些直角三角形都是全等的 ,面积均2为两个单位格点正方形的一半△.那么整个的 AOB 的面积自然就是 1 ⋅ 2n ⋅ n ,所有 n 个空白2小三角形的面积之和为n ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅1 ,相减之后自然就是所有格点正方形的面积 n 2 - n ,也就是2数量了.所以整个菱形的正方形格点就是 4n 2 - 4n .【例 3】2010，平谷，一模如图， ∠AOB = 45︒ ，过OA 上到点 O 的距离分别为1，，，，，11... 的点作 OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为 S ，S ，S ，S ， ．则第一个黑1234色梯形的面积 S =；观察图中的规律，第 n ( n 为 正 整 数 ) 个 黑 色 梯 形 的 面 积1S =．nBS 3S 2S 4S 10 1 3 5 7 9 11 13 ...A【思路分析】本题方法也比较多样。

所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为∠AOB = 45︒ ，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到 0 点的距离,而高则是固定的 2。

1 (2 S =2 1 ( 1 ( 3其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上 4。

于是第 n 个梯形的上底就是 1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底 1 加上(n-1)个 4.)下底自然就是 4n-1,于是 S n 就是8n-4.【例 4】2010，丰台，一模在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形 A 10B 10C 10D 10 四条边上的整点共有个．yA 33 D 3 A 22D 2A 1 1 D 1-3 -2 -1 OB 1 -11 2 C 13 xB 2-2 C 2B 3-3C 3【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。

对于A B C D 来说,每条边的长度是 2n,那么自然整点个数就是 2n+1，所以四条边上整点一共有n nnn(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是 A B C D 就是 80 个.10 10 10 10【例 5】2010，宣武，一模如图，△ ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ ABC 的 BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．“ “S = ，S = ，S = ... ，分子就是 1,2,4,8,16 这样的数列。

于是 S = 2 2 2 26【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。

关键词“中点” 垂线” 等腰直角”。

这就意味着每个三角形的锐角都是 45 度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。

绕一圈是 360 度，包涵了 8 个 45°。

于是绕到第八次就可以和 BC重叠了，此时边长为△ABC 的 1 8，故而得解。

【例 6】2010，门头沟，一模如图，以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA ，再以等1腰直角三角形 ABA 的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A BB ，……，如此作下去，111若 OA = OB = 1 ，则第 n 个等腰直角三角形的面积 S = ________（n 为正整数）.nB 2A 1AOB B 1【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。

还是一样慢慢找小三角形面积的规律。

由题可得1 2 3 n1 2 4 2n【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。

对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。

最后根据这些联系列出通项去求解。

在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例 就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。

这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。

第二部分发散思考【思考1】2009，西城，二模如图，在平面直角坐标系xOy中，B(0,1)，B(0,3)，B(0,6)，123B(0,10)，…，以B B为对角线作第一个正方形A B C B，以4121112B B为对角线作第二个正方形A BC B，以B B为对角线作第23222334三个正方形A B C B，…，如果所作正方形的对角线B B都在3334n n+1y轴上，且B B的长度依次增加1个单位，顶点A都在第一象n n+1n限内（n≥1，且n为整数）．那么A的纵坐标为；用n1的代数式表示A的纵坐标：．n【思考2】2009，朝阳，二模如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始跳动，第一次跳到点P关于x轴的对称点P处，接着跳到点P关于y轴11的对称点P处，第三次再跳到点P关于原点的对称点处，…，22如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是．【思考3】2009，昌平,一模对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数72的分裂数中最大的数是，自然数n2的分裂数中最大的数是.131351)， ，0) 0)【思考 4】2009，延庆，一模一个质点在第一象限及 x 轴、 y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到 (0， ，然后接着按图中箭头所示方向运动 ,即 (0， → (01) → (11) →(1， → … ，且每秒移动一个单位，那么第 35 秒时质点所在位置的坐标是_______y 321 …1 2 3x【思考 5】2009，海淀，二模如图，将边长为1 + n2 (n = 1, 2, 3,)的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为 A 1, A 2, A 3, ….①若摆放前 6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）A1A 2 A 3 A 4之和为；②若摆放前 n （n 为大于 1 的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 .第三部分 思考题解析【思考 1 答案】2；(n + 1)22【思考 2 答案】（3，－2）【思考 3 答案】13；2n-1【思考 4 答案】（5，0）【思考 5 答案】10， 1(n + 2)(n - 1)4。