微积分刘迎东编第四章习题4.6答案4.6 有理函数的积分 习题4.6求下列不定积分：（1）33x dx x +⎰ 解：()()()33223227939272727ln 33239327327ln 3.32x t t dxx t t t dt t t C x t x x x x C ⎛⎫+=-+-=-+-+ ⎪+⎝⎭++=-++-++⎰⎰（2）223310x dx x x ++-⎰解：()2222231310ln 310.310310x dx d x x x x C x x x x +=+-=+-++-+-⎰⎰（3）2125x dx x x +-+⎰解：()()()()22222222511122412252252251211ln 25arctan .22d x x d x x x dx dx x x x x x x x x x x C -+-+-+==+-+-+-+-+-=-+++⎰⎰⎰⎰（4）()21dxx x +⎰解：()()()()22222222211111ln .2212111d x dx x d x C xx x x x x x ⎛⎫==-=+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰ （5）331dx x +⎰ 解：()()322222223121213ln 1111211131ln 1212121ln 1ln 1.2x x dx dx x dx x x x x x x d x x x dx x x x x x x C ---⎛⎫=+=+- ⎪++-+-+⎝⎭-+=+-+-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+++⎰⎰⎰⎰⎰（6）()()22111x dx x x ++-⎰解：()()()222211111122ln 1.1121111x dx dx x C x x x x x x ⎛⎫⎪+=+-=-++ ⎪-+++-+ ⎪⎝⎭⎰⎰ （7）()()()123xdxx x x +++⎰解：()()()13222123123132ln 2ln 1ln 3.22xdx dx x x x x x x x x x C ⎛⎫-- ⎪=++ ⎪++++++ ⎪⎝⎭=+-+-++⎰⎰ （8）5438x x dx x x+--⎰解：()()5422332328811184332118ln 4ln 13ln 1.32x x x x dx x x dxx x x x x x x x dx x x x x x x x x x C ⎛⎫+-+-=+++ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎛⎫=+++-- ⎪+-⎝⎭=+++-+--+⎰⎰⎰（9）()()221dxx x x ++⎰解：()()()2222211112221111122111ln ln 1ln ln 1ln 1arctan .241242x dx dxx x x x x x x x x dx x x x x C x ⎛⎫--- ⎪=++ ⎪++++ ⎪⎝⎭+=-+-=-+-+-++⎰⎰⎰ （10）411dx x -⎰ 解：()()422221111121111111ln arctan .412dx dx dx x x x x x x x C x ⎛⎫==- ⎪--++-⎝⎭-=-++⎰⎰⎰（11）()()2211dxx x x +++⎰ 解：()()()()()22222222221111111211ln 122121211ln 1ln 1.22dx xx dx x x x x x x x dxx dx x x x x x x C -+⎛⎫=+ ⎪++++++⎝⎭+=-+++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+++++⎰⎰⎰⎰ （12）()()22211x dx x++⎰解：()()()()()2222222222211211arctan .11111d x x x x dx dx dx x C x x x x x ++++==+=-++++++⎰⎰⎰⎰ （13）()22221x dx xx --++⎰解：()()()()()()()222222222222222222221112131211111322111221132121x x x x dx x dx dx dxx x x x x x x x d x x dxdxx x x x x dx x x x x --++-++-=-=-+++++++++++=-+-⎛++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎝⎭=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰而()()()()222222222222222222211122221112132112111312112121dx x x xdxx x x x x x x x x x dx x x x x x dx x dxx x x x x x x dx dx x x x x x x x x +=+++++++++--=+++++++=+-++++++=++-++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以()()()222222213131121.31dxdx x x x x x xx x C x x +=++++++++=++++⎰⎰于是()()2222211.1x dxxx x C x x --+++=-+++⎰(14)23sin dxx+⎰解：22222sec tan .3sin 3sec tan 34tan dx xdx d x C x x x x ===++++⎰⎰⎰（15）3cos dxx+⎰解：令tan 2xt =，则22212cos ,11t x dx dt t t -==++，2tan .3cos 2x dx dt C C x t ⎛⎫ ⎪==+=+++⎝⎭⎰⎰（16）2sin dxx +⎰解：令tan 2x t =，则2222sin ,11t x dx dt t t==++，22tan 1.2sin 1x dx dt C C x t t ⎛⎫+ ⎪===++++⎰⎰ （17）1sin cos dxx x++⎰解：令tan 2xt =，则2222212sin ,cos ,111t t x x dx dt t t t -===+++， ln 1ln 1tan .1sin cos 12dx dt xt C C x x t ==++=+++++⎰⎰ （18）2sin cos 5dxx x -+⎰解：令tan 2xt =，则2222212sin ,cos ,111t t x x dx dt t t t -===+++，23tan 1.2sin cos 5322x dx dt C C x x t t ⎛⎫+ ⎪==+=+-+++⎰⎰（19） 解：((2213263ln 231613ln 1.2t t dt t t C t C ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭+=-++⎰（20）31-解：)))))3324324321246586104ln 23181611014ln1.23t t t dt t t t t t t C C -⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=-+-++=-+-++⎰（21）解：)))222364ln 1614ln1.t dt t t t Ct C ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭=-++⎰（22） 解：()()((22242184ln 11214ln 1.t dt t t t C t C =+-++++=-++（23）解：()()2222211211111ln2arctan .1t dt dt t t t t t t C C t ⎛⎫=+ ⎪-++-⎝⎭-=++=++⎰⎰（24）解：3322.tdt CC=-=-+=⎰（25）()()224445dxx x x x-+-+⎰解：()()()222211444544451arctan2.2dxdxx x x xx x x xx Cx⎛⎫=-⎪-+-+-+-+⎝⎭=--+-⎰⎰（26）2425454x xdxx x++++⎰解：()() 222 4222551545533ln1arctan ln4.541466xxx xdx dx x x x C x x x x⎛⎫+⎪++=-=++-++⎪++++⎪⎪⎝⎭⎰⎰（27）51xdxx+⎰解：()()()()()543254321151010511511015151ln1.543xdxx t t t t t dtx tx x xx x x C⎛⎫+=-+-+-⎪+⎝⎭+++=-+-+++-++⎰⎰（28）223dxx-⎰解：2.23dxCx=+-⎰（29）()()2223dxx x-+⎰解：()()222211152323.dxdxx xx xC⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭=-+⎰⎰（30）3422x dxx x-+⎰解：()()232422422ln212224ln2.4t tx dx tdtx t C x x t tx xC-+==-+-+-+=+⎰⎰（31）()()2222dxx x x+++⎰解：()()()()2222112222222ln212222422ln211ln22arctan1242dx xdxx x xx x xx xdx Cx xxx x x C⎛⎫=-⎪++++++⎝⎭++-=-++++=-+++++⎰⎰⎰（32）()()22xdxx a x b++⎰解：()()()()2222222222222222222ln ln arctan .2a ax b xdx a b a b a b dx x a x b x a x b a a b x x a x b C a b a b b a b ⎛⎫-+ ⎪+++=+ ⎪++++ ⎪⎪⎝⎭=-++++++++⎰⎰ （33）5641x dx x x ++⎰ 解：()25642423ln 1111111arctan .123x x x dx dx x C x x x x x x x +++⎛⎫=+-=+-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰ （34）()31221n nx dx x-+⎰解：()()()3122222221arctan 1111n nn x t dt t dtdxx t n n n x t t -==-+++⎰⎰⎰ 而()()222222221122arctan 211111t t t dt dt t dt t t t t t =+=+-+++++⎰⎰⎰ 所以()2221arctan 2121dtt tC t t =++++⎰于是()()312222arctan 1arctan .221211n n nn n x t t x dx C x C n n x n t x -⎛⎫=-+=-+ ⎪++⎝⎭+⎰ （35）()()22111x dx x x ++-⎰解：()()()222211ln 111122.1121111x x dx dx C x x x x x x ⎛⎫- ⎪+=+-=++ ⎪+-++-+ ⎪⎝⎭⎰⎰ （36）332156x dx x x x+-+⎰ 解：32323212891561632565623ln 928ln 2ln 3.623x x x dx x dx x dxx x x x x x x x x x x x x C ⎛⎫ ⎪+-+=+=+-+ ⎪-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭=+--+-+⎰⎰⎰ （37）31xdx x -⎰ 解：()3221111311ln 1ln 1.36x x dx dx x x x x x x x C -⎛⎫=+⎪--++⎝⎭++-=-⎰⎰（38）31dxx +⎰ 解：()23212ln 1ln 1333.11136x x x x dx dx C x x x x ⎛⎫-+-+ ⎪+=+=-+ ⎪++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ （39）()()()2123dxx x x +++⎰解：()()()()2211122131232111ln .232dx dx x x x x x x x C x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪++++++ ⎪⎝⎭+=++++⎰⎰ （40）()()212xdxx x ++⎰解：()()()222212ln 12ln 2arctan 555.1255512x x x xdx x dx C x x x x ⎛⎫++ ⎪+=-=+-+ ⎪++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰（41）cos cos 23x xdx ⎰解：1535cos cos cos cos sin 3sin .23266566x x x x x xdx dx C ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⎰⎰（42）sin 2cos 364x x dx ππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰解：15sin 2cos 3sin 5sin 64212125cos cos 51212.210x x dx x x dx x x C ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+⎰⎰ （43）cos cos 2cos3x x xdx ⎰ 解：()1cos cos 2cos31cos 2cos 4cos 64sin 2sin 4sin 6.481624x x xdx x x x dx x x x x C =+++=++++⎰⎰（44）4cos xdx ⎰ 解：43322324coscos sin sin cos 3sin cos sin cos 3cos 3cos xdx xd x x x x xdxx x xdx xdx==+=+-⎰⎰⎰⎰⎰所以334sin cos 31cos 2sin cos 33sin 2cos .4424816x x x x x x xxdx dx C +=+=+++⎰⎰ （45）5cos xdx ⎰ 解：()()2522435cos1sin sin 12sin sin sin 2sin sin sin .35xdx x d x x x d xx xx C =-=-+=-++⎰⎰⎰（46）25sin cos x xdx ⎰解：()()22522246357sin cos sin 1sin sin sin 2sin sin sin sin 2sin sin .357x xdx x x d x x x x d x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰（47）23sec sin x xdx ⎰解：2232cos 1sec sin cos cos sec .cos x x xdx d x x x C x-==++⎰⎰（48）24sin cos x xdx ⎰ 解：()()()242231sin cos sin 21cos 28111cos 4sin 2sin 21616sin 4sin 2.166448x xdx x x dx x dx xd x x x x C =+=-+=-++⎰⎰⎰⎰ （49）sin cos dxx x+⎰解：tan .sin cos 28sin 4dx dx x C x x x ππ⎛⎫==++ ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰（50）解：.C ⎛⎫==+⎰ (51)44sin cos sin cos x xdx x x+⎰解：()()24424sin sin cos 11arctan cos 2.sin cos 212sin 2sin 2d x x x dx x C x x x x ==-++-+⎰⎰ （52）3sec xdx ⎰ 解：323sec sec tan sec tan sec tan sec tan sec sec xdx xd x x x x xdx x x xdx x==-=-+⎰⎰⎰⎰⎰所以3ln sec tan sec tan sec .22x xx x xdx C +=++⎰ （53）3csc xdx ⎰ 解：33csc sec 2ln sec tan sec tan 222222ln csc cot csc cot .22xdx x dx x x x x C x x x x C πππππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=--++=--+⎰⎰（54）3cos sin 2x xdx ⎰解：5342cos cos sin 22cos cos .5xx xdx xd x C =-=-+⎰⎰ （55）()11cos dxxεε<+⎰解：令tan ,2xt =则22212cos ,,11t x dx dt t t -==++所以 ()()22.1cos 112dx x dt C x t εεε⎛⎫==+⎪⎪+-++⎭⎰⎰ （56）sin cos sin cos x xdx x x+⎰解：cos 2sin cos sin 24sin cos sin sin 442sin csc 44csc cot .444x x x x dx dx dx x x x x x x dx x x x C ππππππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰（57）4cos dxx⎰解：()324tan 1tan tan tan .cos 3dx x x d x x C x =+=++⎰⎰ （58）44cos 2sin cos xdx x x+⎰解：442cos 2sin 2.sin cos 2sin 2x d x dx C x x x ==++-⎰⎰ （59）2shxsh xdx ⎰ 解：()1323.262sh x shx shxsh xdx ch x chx dx C =-=-+⎰⎰ （60）3chxch xdx ⎰ 解：()142342.284sh x sh xchxch xdx ch x ch x dx C =+=++⎰⎰ （61）解：arcsin .x C == （62） 解：()58643222754322161116632363ln 16arctan .752t t t dt t t t t t dt t t t t t t t t t t C --⎛⎫=-++--++ ⎪++⎝⎭=-++--+++-+⎰⎰（63）解：(22x x dx ==-⎰而2==-所以11ln.22x C =-=-+于是21ln.222xx C=-++（64）解：()6126ln6ln1212.dt t t Ct tC⎛⎫-=-++⎪+⎝⎭=（65）解：.C=（66）解：1111ln.22xx C⎛⎫-+⎪=⎛=-+⎝（67）解：()()()()232117151113116110811834127211175111316ln 1ln 1ln 2.10818164271x dt t t t t t t t t C t t +=⎛⎫-++-- ⎪ ⎪+--++⎝⎭=-+--+---+++⎰（68）⎰ 解：(()()23221222212221223x x x x x =-+=-++=-++⎰⎰⎰ 而2212==+=-=所以(11ln +C.22=于是()(32211122ln +C.322x x =-++⎰（69）解：11sin cossin4csc cot.44dt dtt ttt t C Cπππ=+⎛⎫+⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰（70）解：()cos1cosarcsin211tan.2222tdttxt tC C=+-=-+=+（71）()1/21/31xdxx+⎰解：()()()()32225210864211975313126163060603066106012106.1137t t tdttt dt t t t t t dtt t tt t t C--=-=-+-+-=-+-+-+⎰⎰。