(1) N(t) 0, N(t) 是单调上升函数.
K
(2)
t
lim
N
(t
)
lim
t
1
Ce KSt
K
K是使得人口净增长率 r(K)=0 的人口数，
可理解为该地区能容纳的人口上限.
(3)
令
N (t)
CK 3 S 2e KSt (Ce KSt (1 CeKSt )
1)
0
存在 t0使
N (t0 )
问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量 的信息量仍然足够大？
如何利用熵的概念解决此问题，给出解决 问题的思路。
降水量的信息量仍然足够大？
x2
x1
x5
x3
x4
x8
x6
x9
x7
x10
问题：怎样比较信息的大小？ 信息的多少能不能度量？
总结评讲
1. 问题分析 首先找出问题中的关键词，进行联想.
减少 站数
另一种方法：用聚类分析法进行聚类. （可由降水数据分析各个气象站的相似性， 如同为干旱、湿润地区等.）
仍保留降水量的信息量较大的站。
(3) 建立保持足够信息量的判别条件 可考虑各种判别条件，如 ： 1) 设定一个阈值，保留所有熵值大于阈值 的气象站； 2) 使保留气象站的信息量总和占原信息量 总和的一定比例.
对原问题的分析： (1) 一般每户只需用1～2只电饭煲就足够,
一个地区的需求量是有限的；
(2) 初期在广告之类推销作用下销售速度 较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓.
电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可 利用类比方法建立模型.
记x(t)为t 时刻已售出的电饭煲总数,市场 的饱和量(最大需求量)为M,利用Logistic模
例5 常见数学题目模式 已知
求（证）
初态
解题 过程
目标态
主要教学目 标
* 解决实际问题时，分析出问题的初态和 目标态很困难.
* 未清晰地描述出问题的“初态”和“目 标态”之前，过早地进入解决问题的阶段， 会条件不清、目标不明.
例6．飞行管理问题 尽量拓展思路的基础上, 再进行充分分析 得到的问题分解结果：
保持 信息量
删除 各站 原则 关系
降水 数据
足够大 衡量 指标
衡量 指标
熵
降水 数据
2. 问题的分解
初态：12个气象站的年降水数据。
（无日或月的降水数据，也无地理、气候等其
它条件.）
解决问题的
惟一出发点
目标态：减少气象站数，并保持降水量足够
大的信息量.
过程：（将做的事情）
(1) 信息量的衡量（用熵）；
分析 Logistic人口模型，t 时刻的人口数为
, N (t)
N0 Ke rt K N0 (ert 1)
K
1(
K N0
1)e
rt
t≥0
改写为
, N (t)
K 1 ce KSt
t0
其中
S
r K
,
c
K N0
1
数学分析
1. 若 r＜0，则S＜0，随着
,
则
t N(t) 0
2. 若 r＞0，讨论Logistic曲线特征
问题的初步理解和想法:
飞行管理问题是优化问题,在调整方向角 的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案 及算法的实时性.
思考题：尝试读题与分析
MCM1999A题：强烈的碰撞
美国国家航空和航天局(NASA)从过去某个 时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地 球会产生的后果。
作为这种努力的组成部分，要求你们队来考 虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到了 南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞 到地球的其他地方可能会有很不同的后果。
面对新问题，应尽量打开自己的思路： 1. 不要轻易沿一条思路深入，不要轻易 做出结论. 2. 尽量多一些想法，多一些猜测。
思考、思考、再思考.
帮助展开思路的方法： 1.提问题法
提问题法 关键词联想法
借助于一系列问题来展开思路. 面临难题, 束手无策时通过提出一系列问 题来导出一些想法或一个好的方案. 如：
例1 穿越公路问题
一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“冲” 过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑 马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公 路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设 “斑马线”,让行人可穿越公路,并且还要保证 行人的平均等待时间不超过15秒.
增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？
1. 考虑问题的立场, 司机或行人的哪方面的 利益更为重要？
* 对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的关键词 “管理”进行联想.
* 抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞” “立即”、“判断”等等词语.
* 联系解决问题的方案,不加约束继续联想， 再将关键词搭配起来.
碰撞
立即 判断
条件
实时
算法
实时
优化问题
避 免
调 整幅度ຫໍສະໝຸດ 量小碰 撞方 向角
相对 距离
优 化优 调化 整算 方法 案
数学建模的各阶段工作
实际问题分析
建立数学模型
提交论文与报告
求解数学模型
模型与模型解的分析及检验
此流程 具有指导意义 ，应注意 * 流程应用是弹性的，切不能生搬硬套. * 建模过程往往是一个反复循环的过程.
本章基本上按照此流程来介绍数学建 模的方法。
数学建模过程是一种创新过程，在思考 方法和思维方式上与学习其他课程有很大 差别。
(2) 问题分解法
有专著介 绍
问题分解法是一种简单而有效的把握问
题整体的方法.
将问题分解为“三要素”的三个部分.
初态 觉察到的现在状态(目前“有什
问
么”，如条件、数据等).
题
分
解 目标态 觉察到的希望目标(想要什么、
三 要
希望达到什么等).
素
过程 能在“初态”和“目标态”之间发
生
作用的行动(能做什么).
2. 公路情况: 是否有弯道？车道间是否设 有安全隔离带？……
3. 车流情况：车流的密度大小？
4. 行人情况: 穿越公路的速度大小？穿越公 路的人群密度？穿越公路者的性质？
问题分析 此问题的特点是机理复杂, 受到较多随机因素的影响, 类似于渡口 模型,可采用统计模拟方法加以解决.
例2 电饭煲销售问题
(l) 这个问题和什么问题相类似？ (2) 假如变动问题的某些条件将会怎样？
(3) 将问题分解成若干部分再考虑会怎样？ (4) 重新组合又会怎样？ 为进一步打开思路可提以下问题：
(5) 我们还可以做什么工作？ (6)有无需要进一步完善的内容？ (7) 可否换一种数学工具来解决此问题？ 针对问题和初始方案可以先设计出类似的 问题清单，然后反复展开。
型
X (t )
1
M
ce kMt
,
t0
来描述电饭煲的销售速度变化情况.
实际情况与Logistic销售曲线十分吻合
思考 请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic模型进行描述？
例3 “9.11”事件的反思
现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的 摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目 睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人 员伤亡和财产损失.
(2) 给出删除气象站的条件及原则；
(3) 建立保持足够信息量的判别条件；
3.解决问题的思路 (1) 确定各气象站的年降水量： 随机变量
的概率分布，并计算各个气象站降水量的熵值. (2) 分析判断各站年降水量(两两之间或多
个变量间)是否存在相关关系(线性的或非线性 的)，并据此保留其中熵值较大的气象站统.计检验
(3) 再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题 的初步思路与步骤.
例4 飞行管理问题
在约10,000米高空的某边长160公里的正 方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞 行.区域内每架飞机的位置和速度均由计算 机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲 进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数 据后，要立即计算并判断是否会与区域内 的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应
一种新产品刚面世，厂家和商家总是采 取各种措施促进销售，比如不惜血本大做 广告等等.他们都希望对这种新产品的推销 速度做到心中有数,厂家用于组织生产，商 家便于安排进货.
怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭 煲)推销速度，并由此分析出一些有用的结 果以指导生产.
想一想 此问题与我们遇到的哪一个建模问题 相类似？
能量来源
引力、动能
南极冰盖的成分（深度、密度、温度） 以及冰盖下的成分
冰融的估算
大气环流
粉尘的传送
温室效应
相关理论：
Newton引力模型 碰撞的动力学
轨迹
冰的热力学（冰融、汽化）、热传导
生态系统（磷虾.krill）
水温
后期工作：
预测与预警
二、整体把握问题的方法
有两种把握住问题的全貌的有效方法：
(1) 层次结构法
0，且x(t0 )
K 2
,
当t t0 , N(t) 0, 即N(t)单调上升；
当t t0 , N (t) 0, 即N (t)单调下降。
k k/2
N0
0
t0
人口不会无限增长，存在一个转折时 间点t0 ，过此点以后增长速度会减缓。
Logistic模型特点：初期高速增长，过一个特 定时间点后增长速度减缓，且有上界控制.
计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞 行方向角，以避免碰撞.现假定条件如下： …… 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数 学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算 (方向角误差不超过0.01度).要求飞机飞行方 向角调整的幅度尽量小.记录数据为：