(3 ) ①x＝ 1 (1 ，a)
②三 AQ＝ BQ，AB＝BQ， AQ＝AB
解： (1) ∵直线 y＝3x＋ 3，
∴当 x＝0 时， y＝ 3，当 y＝0 时， x＝－ 1，
∴点 A 的坐标为 ( －1，0) ，点 B 的坐标为 (0 ，3) ．
(2) 设抛物线对应的函数表达式为
y＝ax2＋ bx＋c，由题意，得
③当 AQ＝ AB时，如图③， 由勾股定理，得 22＋a2＝ 10，解得 a＝± 6，此时点 Q的坐标是 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ． 综上所述，存在符合条件的点 Q，点 Q的坐标为 (1 ，1) 或 (1 ，0) 或 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ． 类型 2 直角三角形、全等三角形存在性问题 例 2 如图 2，已知直线 y＝kx －6 与抛物线 y＝ ax2＋bx＋c 相交于 A，B 两点，且点 A(1，－ 4) 为抛 物线的顶点，点 B 在 x 轴上．
解得
1－ m＝ 2
13
1＋ m＝ 2
13 ＞0，舍去
，
∴点 P 的坐标为
1－ 2
13 ，
13－1 . 2
(3) 如图，①当∠ Q1AB＝90°时，△ DAQ∽1 △ DOB，
AD DQ1
5 DQ1
∴OD＝ DB，即6＝ 3ຫໍສະໝຸດ ， 557
∴DQ1＝ 2，∴ OQ1＝2，
7 即点 Q1的坐标为 0，－ 2 ；
C(3，0) ．
(1) 求点 A，B 的坐标．
(2) 求抛物线对应的函数表达式．
图1
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ ABQ是等腰三角形？若存在， 求出符合条件的点 Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
【分层分析】
(1) 如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？
(2) 如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意， 设抛物线对应的函数表达式时， 应该用哪种形式？
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图2 (1) 求抛物线对应的函数表达式． (2) 在(1) 中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点 P，使△ POB与△ POC全等？若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 若点 Q是 y 轴上一点，且△ ABQ为直角三角形，求点 Q的坐标． 【分层分析】 (1) 已知点 A 的坐标可确定直线 AB对应的函数表达式， 进一步能求出点 B 的坐标．点 A 是抛物线的 顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为 ________式，再代入 ________的坐标，依据 ________ 法可解． (2) △ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以 ________为直角顶点，进行分类讨论，找出 相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解． 【解题方法】 本题为综合题，考查了平面直角坐标系中， 利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式， 利用方程、 分类讨论和数形结合等思想解题． 【解答】【分层分析】 (1) 顶点 点 B 待定系数 (2) 点 A， B， Q 解： (1) 把(1 ，－ 4) 代入 y＝kx－ 6，得 k＝2， ∴直线 AB对应的函数表达式为 y＝2x－ 6. 令 y＝ 0，解得 x＝ 3，∴点 B的坐标是 (3 ，0) ． ∵点 A 为抛物线的顶点，
(3) ①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线 ________，所以可设点 Q的坐标为 ________；
②△ ABQ是等腰三角形可分为 ________种情况，分别是 ____________________；
③根据勾股定理分别列出方程即可求出点 Q的坐标．
【解题方法】
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对于等腰三角形的分类应分三种情况． 可以设一个未知数， 然后用这个未知数分别表示出三角
形的三边， 再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角
形．
【解答】【分层分析】
(1) 令一次函数表达式中的 x 或 y 为 0，即可求出图象与 y 轴或 x 轴的交点坐标．
(2) 求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般
式法或交点式法都比较简单．
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∴设抛物线对应的函数表达式为 y＝ a(x －1)2 －4， 把(3 ，0) 代入，得 4a－ 4＝ 0， 解得 a＝1， ∴抛物线对应的函数表达式为 y＝(x －1)2 －4＝x2－2x－ 3. (2) 存在．∵ OB＝OC＝ 3， OP＝OP， ∴当∠ POB＝∠ POC时，△ POB≌△ POC， 此时 OP平分第二象限， 即直线 PO对应的函数表达式为 y＝－ x. 设 P(m，－ m)，则－ m＝ m2－2m－ 3，
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由勾股定理，得 BQ＝ BF2＋QF2＝ （ 1－ 0） 2＋（ 3－a）2， AQ＝ AD2＋QD2＝ 22＋a2， 得 （ 1－ 0） 2＋（ 3－a）2＝ 22＋ a2，解得 a＝1， ∴点 Q的坐标为 (1 ，1) ． ②当 AB＝ BQ时，如图②， 由勾股定理，得 （ 1－ 0） 2＋（ a－3） 2＝ 10， 解得 a＝0 或 6， 当点 Q的坐标为 (1 ，6) 时，其在直线 AB上， A， B， Q三点共线，舍去，∴点 Q的坐标是 (1 ，0) ．
0＝ a－ b＋ c，
a＝－ 1，
3＝ c，
解得 b＝ 2，
0＝ 9a＋3b＋c，
c＝ 3.
∴抛物线对应的函数表达式为 y＝－ x2＋2x＋3.
(3) ∵抛物线对应的函数表达式为 y＝－ x2＋2x＋3，配方，得 y＝－ (x －1)2 ＋ 4，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝1，设 Q(1， a) ． ①当 AQ＝ BQ时，如图①，设抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，过点 B作 BF⊥ DQ于点 F.
中考数学难题突破——函数中特殊三角形存在性问题
特殊三
角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、
特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．
类型 1 等腰三角形存在性问题
直角三角形、 全等三角形等
例 1 如图 1，直线 y＝3x＋ 3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，过 A， B 两点的抛物线交 x 轴于另一点