线性代数性质公式整的乘积的代数和,这里帘汀〜是1, 2,・n •的一个排列。
当• 是偶排列时,该项的前面带正号;当是奇排列时,该项的前面带负号,即|釦1 a l2V这里. 表示对所有n 阶排列求和。
式(1.1)称为n 阶行列式的完全展开式 2. 逆序与逆序数 ——一个排列中,如果一个大的数排列在小的数之前,就称这 两个数构成一个逆序。
一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。
用 表示排列 '的逆序数。
3. 偶排列与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数,则称这个排列为偶排 列,否则称为奇排列忖h4.2阶与3阶行列式的展开一|匚d =ad - hea21 a 22 也 3 对1 日32 ^33=^^22333 + ^12a 23^31 + a 13a 21a 32 _ a 13a 22a 31 ~ 312^21^33 _ a ll a 23 a 32、相关概念 1•行列式线性代数第一章行列式町131«a 22 … di«1!| •|i gi fdi f ■■1 P «a n i 鈿.2 a t]n是所有取自不同行不同列的 n 阶行列式n 个元素行,第j 列的元素,剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式6.伴随矩阵一一由矩阵A 的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如、行列式的性质1. 经过转置行列式的值不变,即I :l A l'k 行列式行的性质与列的性质是对等 的。
2. 两行互换位置,行列式的值变号。
特别地,两行相同 (或两行成比例),行列式 的值为0.3. 某行如有公因子k ,则可把k 提出行列式记号外。
4. 如果行列式某行(或列)是两个元素之和,则可把行列式拆成两个行列式之和:5.把某行的k 倍加到另一行,行列式的值不变:pi 岂为al旳b ]帕 b :t=b t + 斶b? + kaj b$ +1“巳5 1 c i“卬6.代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积5.余子式与代数余子式——在n 阶行列式日12…^22 … 屯】】4)-| *|| || *甲章■■1 p III釘2 …a t ]nan - 日]』1 1 … … … … a i - 14 …a i -1J- 1 邳Li 丰 a i + u …+ i,j -1 a i + 1.| +*** ***… 2[订 …^ll,j -1 a IIJ +1 (-1)2叫为%的代数余子式,记为 «1 - Ln+ Im Aij 称为呦的余子式,记为,即A 产(-1严叫ii ;称A 】】A12A21 …A 22 ...A (2)A lllv,称为A 的伴随矩阵,记作… 中划去所在的第i之和为0 三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素,与其对应的代数余子式乘积之和, 即|A| =日Mi】+ a^Aiz +…+引|崗产E;冷Sik |A按i行展开的展开式l A l =叭佝十也i幅+…十a nj A tii = 严沁kjAki|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1. 上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积;Ill'll - 1}2. 关于副对角线的n阶行列式的值|A| = (_ “r-3]屁]i ]…如3. 两个特殊的拉普拉斯展开式:如果A和B分别是m阶和n阶矩阵,则|S B|=|?B|=IAHB|A= (-l)mn|A|||B|申1 1 (1)Xl x tl2Xn=rr v : v : v …(x; - Xi)y4.范德蒙行列式十* 4- ■■* * 4- 1 j i■1MH皿一1-.Tl —1.rll —1X 1X 2 …x tb5. 抽象n阶方阵行列式公式(矩阵)若A、B都是n阶矩阵,A'是A的伴随矩阵,若A可逆,入忑=⑴…血是A的特征值:' _『丨;J I;|AB|=|A||B|;& _卜「;■ ' - - /:1:,I A J=缶;|A| = 11卜]入j;若A-B|,则|A| = |0|,且特征值相同。
AA" = A4A= |A|E一般情况下:"土B|工風土画五、行列式的计算1. 数字型行列式将行列式化为上下三角,再按行或列展开;化简技巧:①将每列(行)都加到同一列(行),或者将每列(行)ki倍都加到同一列(行)。
②逐行(或逐列)相加③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法--- ①验证n=1时命题正确;假设n=k时命题正确;证明n=k+1时,命题正确。
②验证n=1和n=2时命题都正确,假设n<k命题正确,证明n=k,命题正确。
③对于n阶的三对角行列式,通常可用数学归纳法。
2. 抽象型行列式一一通常与矩阵一起考,利用行列式的性质(倍加、提公因数k、拆项)等来恒等变形;也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。
☆利用单位矩阵f 1\ X恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。
3. 行列式|A|是否为0的判定若A=[「]是n阶矩阵,那么行列式|A|=0 I矩阵A不可逆I 秩r(A)<n--------- 一--------------------------------0是矩阵A的特征值A的列(行)向量线性相关。
因此,判断行列式是否为0,常用:①秩;②齐次方程组是否有非零解;③ 看特征值是否为0;④反证法;⑤若|A|=k|A|,且k 工1时也能得出|A|=0 4. 代数余子式求和① 按定义直接计算求和;② 用行列式的按行或列展开的公式。
由于 鈿的值与知的值没有关系,故可以 构造一个新的行列式|B|,通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代 数余子式。
P205例20③ 利用行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0的性 质 ④ 根据伴随矩阵A '的定义,通过求A -再来求和。
第二章矩阵、矩阵的概念及运算个mXn 矩阵,当m=n 时,矩阵A 称为n 阶矩阵或n 阶方阵。
如果一个矩阵所 有元素都是0,则称为零矩阵,记作 0。
两个矩阵人=⑻仏一,B = 曲t ,如果m=s , n=t ,则称A 与B 是同型矩 阵两个同型矩阵如果对应的元素都相等,则称矩阵 A 与B 相等,记作A=B 矩阵A 是一个表格,而行列式|A|是一个数。
二、矩阵的运算1. (加法)设A 、B 是同型矩阵,则'''■■ _ ■■■■■ 屯::亠":工小_卫二亠打i 乂,2. (数乘)"A 一 kbijlm x II _ 出日丄】x it矩阵m Xn 个数排成如下m 行n 列的一个表格'a ll …5]辺1a 22 …p li ■%13爲称为是3. (乘法)若A 为m xs 矩阵,B 为sxn 矩阵,则A 、B 可乘,且乘积AB 是一个 mXn 矩阵。
记成匸小^ijlm x 11,其中砌=冋训kj = a ii b ij + 如切 + •” + a is b HI4. 转置 将矩阵A 的行列互换得到矩阵A 的转置矩阵、 三、矩阵的运算规则 ABC 为同型矩阵,则 1. 加法——|A + B = B +A ; (A + B) + C = A + (13 + C ): A + O = A ; A i ( - A) = O2. 数乘 --- 二丁八 •- -|(k ■+ m)A kA + mA ; k(A+ B) = kA + kB ; 1A = A ; 0A=d3. 乘法ABC 满足可乘条件(AD)C = A(BC); A(B + C) - ,\B + AC ; (B + C)A = BA +注意一般情况下AR 註BAAB = O 不能推出A = O 或R = 0 AB = B 且B 芒0,不能推出A = E对角矩阵的逆矩阵 4.转置一一(A + B)7 = A T + 田;(3j 「=kA 1; (AB)T = B ,r;(A‘『j 「= A5. ------------------ 伴随矩阵A ,= |A|A ] ; AA • = A * 八=|A|E ;’ I -;(AT )11(⑷、曾 H ; 叶| = |A|八; (A )= |A|n -2A(门王2)对角矩阵i.16. 方阵的幕一一- 1注意(AB〕k = (AB)(AB)…(AB)工A k B k(A + B)k = A2+ AB + BA+ r + 2AB + B2(A + B)(A - B) = A2- AB + BA - B27. 特殊方阵的幕(求用')――①若秩r(A) = l,则A可以分解为两个矩阵的乘枳,言A? = IA,从而A11 = I11】A例如P218②特殊的二项式展开I[B Ol n a 0'③分块矩阵[o c]=0 c hb④特征值、特征向量、相似⑤简单试乘后如有规律可循,再用归纳法。
四、特殊矩阵设A是n阶矩阵:①单位阵:主对角元素为1,其余元素为0,记成②数量阵:数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。
③对角阵:非对角元素都是0的矩阵称为对角阵,记成|A* A-diag[a Lt*,巧I④上(下)三角阵:当i >/0</)时,有%= °的矩阵称为上(下)三角阵。
⑤对称阵:满足厂=八,即|片空⑥反对称阵:满足A「=-A,即呦=-呷,即"的对称阵称为反对称阵。
⑦正交阵:汽〉丁和矩阵称为正交阵,即“⑧初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。
⑨伴随矩阵:见(一.1.6) ■- = :■■■■ 1五、可逆矩阵1. 主要定理:若A可逆则A的逆矩阵唯一且|A|不为0。
行列式不为0则矩阵可逆。
2. 概念——设A是n阶方阵如果存在n阶矩阵B使得I :. 成立,则称A 是可逆矩阵或非奇异矩阵,B是A的逆矩阵,记成A"1 = B3. 可逆的充要条件一一①存在n阶矩阵B使得AB=E②胡「广,或秩r(A)=n,或A的列(行)向量线性无关③齐次方程组Ax=0只有零解④矩阵A的特征值不全为04. 逆矩阵的运算性质一一若则(kA)-1-^-1若A,B 可逆,则(AB)l = A 〔;特别地(A<) —〔AV 若川可逆,则(A T)_1 = (A A ; (A〔I —A;= £注意,即使A,B,A+B都可逆,一般地(A + I幼G A 1+ B 15. 求逆矩阵的方法一一①若A'I■■■..■-②初等变换⑷E)空早(E|A J③用定义求B,使得AB=E或BA=E,则A可逆且A 1= B④分块矩阵,设B,C都可逆,则[B 0〕1[B-10 1[0 B1-1■ o0 C[0 C-1]; C 0R-10六、初等变换、初等矩阵1. 主要结论:用初等矩阵P左乘A,所得PA矩阵就是矩阵A做了一次和矩阵P同样的行变换;若是右乘就是相应的列变换2. 初等变换——设A 是m x n 矩阵,(倍乘)用某个非零常数k (kr 0)乘A 的某行 (列)的每个元素,(互换)互换A 的某两行(列),(倍加)将A 的某行例)元素的k 倍加到另一行(列)。