压杆稳定
【例1】 压杆的压力一旦达到临界压力值，试问压杆是否就丧失了承受荷载的能力？ 解：不是。
压杆的压力达到其临界压力值，压杆开始丧失稳定，将在微弯形态下保持平衡，即丧失了在直线形态下平衡的稳定性。
既能在微弯形态下保持平衡，说明压杆并不是完全丧失了承载能力，只能说压杆丧失了继续增大荷载的能力。
但当压杆的压力达到临界压力后，若稍微增大荷载，压杆的弯曲挠度将趋于无限，而导致压溃，丧失了承载能力。
且在杆系结构中，由于某一压杆达到临界压力，引起该杆弯曲。
若在增大荷载，将引起结构各杆内力的重新分配，从而导致结构的损坏，而丧失其承载能力。
因此，压杆的压力达到临界压力时，是其承受荷载的“极限”状态。
【例2】 如何判别压杆在哪个平面内失稳？图示截面形状的压杆，设两端为球铰。
试问，失稳时其截面分别绕哪根轴转动？
解：（1）压杆总是在柔度大的纵向平面内失稳。
（2）因两端为球铰，各方向的μ=1，由柔度知l
i
μλ=
（a ）x y i i =，在任意方向都可能失稳。
（b ），x y i i ＜失稳时截面将绕x 轴转动。
（c ）x y i i ＞，失稳时截面将绕y 轴转动。
【例3】 细长压杆的材料宜用高强度钢还是普通钢？为什么？
解：对于细长压杆，其临界压力与材料的强度指标无关，而与材料的弹性模量E 有关。
由于高强度钢与普通钢的E 大致相等，而其价格贵于普通钢，故细长压杆的材料宜用普通钢。
【例4】 图示均为圆形截面的细长压杆（λ≥λｐ），已知各杆所用的材料及直径d 均相同，长度如图。
当压力P 从零开始以相同的速率增加时，问哪个杆首先失稳？
杆C
杆B
1.6a
P
P
1.3a
杆A
a
P
解：方法一：用公式P lj = π2
EI ／（μl ）２
计算，由于分子相同，则μl 越大，P lj 越小，杆件越先失稳。
方法二：运用公式P lj ＝σlj A ＝π2
EA /λ2
，分子相同，而λ＝μl /i ,i 相同,故μl 越大，λ越大，P lj 越小，杆件越先失稳。
综上可知，杆件是否先失稳，取决于μl 。
图中，杆A ：μl ＝2×a ＝2 a 杆B ：μl ＝1×1.3a ＝1.3a 杆C ：μl ＝0.7×1.6a ＝1.12a
由(μl )A ＞(μl )B ＞(μl )C 可知，杆A 首先失稳。
【例5】 松木制成的受压柱，矩形横截面为b ×h ＝100mm ×180mm ，弹性模量E ＝10GPa ，
λP ＝110，杆长l ＝7m 。
在xz 平面内失稳时（绕y 轴转动），杆端约束为两端固定（图a ），在xy
平面内失稳时（绕z 轴转动），杆端约束为两端铰支（图b ）。
求木柱的临界应力和临界力。
解：（1）在xz （最小刚度）平面内的临界应力和临界力 此时5.0=y μ，横截面对y 轴的惯性半径mm b A
I i y y 87.2812
=
=
在此平面内 1102.12187
.281075.03
>⨯⨯==
y
y y i l
μλ
符合欧拉公式的适用条件。
临界应力为 ()
MPa 72621211010πλE πσ2
322y 2cr ..=⨯⨯== 临界力为
KN A F cr cr 12118010072.6=⨯⨯==σ （2）在xy （最大刚度）平面内的临界应力和临界力 此时0.1=z μ，横截面对z 轴的惯性半径mm h A I i z z 96.5112
180
12====
此平面内的柔度 1107.13496
.511070.13
>=⨯⨯==
z
z z i l
μλ
临界应力 ()
MPa E z cr 44.57.13410102
3
222=⨯⨯==πλπσ 临界力为 KN A F cr cr 9.9718010044.5=⨯⨯==σ
计算结果表明，木柱在最大刚度（xy ）平面内支承条件较弱，柔度z λ较大，使其临界力较小而先失稳。
本例说明，在不同平面内，当杆端支承条件不相同时，应分别计算λ，并取较大者计算临界应力（或临界力）。
因为压杆总是在λ较大的平面内先失稳。
【例6】 托架中，Q=70KN ，杆AB 直径d=40mm,两端为绞支，材料为A 3钢，E=206GPa ，规定稳定安全系数n w =2,，横梁CD 为20a 工字钢，［σ］=140MPa 。
试校核托架是否安全？
Q D
解：托架由横梁CD 和压杆AB 所组成，所以既要校核横梁CD 的强度，又要校核压杆AB 的稳定性。
首先取横梁CD 为研究对象，并画受力图（b ）
：0600
cos =
α由 0906000=⨯-⨯=∑Q sin S ,M C α KN ..sin Q
S 159661060010709004416009000
=⨯⨯⨯=⨯=
(1)校核横梁CD 的强度。
由受力图分析知它受拉弯组合变形。
查型钢表N 020a 工字钢w z =237cm 3
，A =35.5cm 2
危险截面在B 处 （b ）
MPa A S W M Z 12210
5.3575
.010159102733001070cos 2
333=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅+=ασ＜［σ］ 横梁 CD 安全。
(2)校核压杆AB 的稳定性 柔度 cr i
l
λμλ<=⨯=
=
804
/480
1 应用抛物线公式
kN
A P MPa
a cr cr s cr 241)04.0(4
101921928000668.02352622=⨯⨯=⋅==⨯-=-=π
σλσσ 压杆AB 的工作安全系数
w cr g n P P n <===
52.1159
241 压杆AB 的稳定性不够，即托架不安全。
【例7】 连杆两端为柱销连接，两销孔间距l=3.2m ，横截面积A=40cm 2
，惯性矩I y =120cm 4
，
I z =800 cm 4，连杆材料为A 3钢，E =206GPa ，轴向压力P=300kN 。
若规定稳定安全系数n w =2，试校
核连杆的稳定性。
解：连赶在xy 平面内可简化为两端铰支座μ=1，连杆在xz 平面内则可简化为两端固定支
座μ=0.5。
在xy 平面内失稳时，z 轴为中性轴。
cm A I i z z 47.440800===
6.7147
.43201=⨯==z z i l μλ 在xz 平面内失稳时，y 轴为中性轴。
cm A
I i y y 73.140
120
==
=
5.9273.13205.0=⨯==y y i l μλ 因y λ＞z λ，故只需对xz 平面的稳定性进行校核。
连杆工作应力
MPa A P 754000
103003
=⨯==σ
因y λ=92.5＜cr λ，故采用抛物线公式求临界应力。
MPa a s cr 1785.9200668.023522=⨯-=-=λσσ
故 37.275
178
===
σσcr g n ＞n w 连杆具有足够的稳定性。