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4、用频率估计概率的一般做法
当试验的所有可能结果不是有限个, 或各种可能结果发生的可能性不相等时, 常常是通过统计频率来估计概率,即在同 样条件下,用大量重复试验所得到的随机 事件发生的频率的稳定值来估计这个事 件发生的概率。
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┃知识归纳┃
1．事件
在一定条件下， 可能发生也可能不发生 随机事件．
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变式：将一枚硬币连掷3次，出现“两 正，一反”的概率是多少？
分析：
抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下几种 机会均等的结果：
正正正 正正反 正反正 正反反
反正正 反正反 反反正
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演示：
, .
果种从 发可上 生能至 的的下 机结每 会果一 相而条 等且路
每径 种就 结是
一
第
开始
一
次
正
反
第
二
正
次
反正
反
第 三
正
反
正
反正 反 正
反
次
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► 考点三 用频率估计概率 例3 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球
共有120个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚 通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在
15%和55%，则口袋中白色球的个数很可能是__3__6____个．
2、事件发生的概率与事件发生的频 率有什么联系？
一般地，在大量重复进行同一 试验时，事件A发生的频率m/n稳定
在某个常数 p 的附近，那么这个
常数就叫做事件A的概率，
记作 P（A）=P.
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因为在 n 次试验中，随机事件
A发生的频数 m 次 0≤m≤n ，
所以
0≤
m
n
≤1,
可知频率
m
n
会稳
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解：(1)树形图如下：
(2)∵乙摸到与甲相同颜色的球有三种情况， ∴乙能取胜的概率为93＝31.
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列表如下：
甲 乙
白 红 黑
白
白，白 白，红 白，黑
红
红，白 红，红 红，黑
黑
黑，白 黑，红 黑，黑
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方法技巧 当事件中涉及两个因素，并且事件发生的可能性相等时，通 常采用列表法或树形图法计算概率；当事件中涉及三个或三个以 上因素，并且事件发生的可能性相等时，通常采用树形图法计算 概率．
于
某个常数附近
m ，那么事件A发生的概率P(A)＝ n .
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4．用频率估计概率 m
一般地，在大量重复试验中，事件A发生的频率 n 稳定
于
某个常数附近
m ，那么事件A发生的概率P(A)＝ n .
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3．(2015·本溪)在一个不透明的口袋中，装有若干个红球 和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机 摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球 实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红
[解析] 大量试验下获得的频率可以近似地看成概率，本题 中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和55%，可以看作红色、 黑色球分别占玻璃球总数的15%和55%，因此白色球的个数可 能是120×(1－15%－55%)＝36(个)．
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► 考点四 利用面积求概率
例4 如图25－2是一个被等分成6个扇形且可自由转动的
第二十五章概率初步
复习与小结
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一、[知识网络]
事件
确定事件 随机事件
必然事件 不可能事件
概率初步
概率计算
直接列举法 列举法 列表法
树状图法
用频率估计概率
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概率定义
随机事件 概率
用列举法求概率 用频率估计概率
直 列树
概
模
接 表形
列 法图
举
法
率 与 频 率
拟 试 验
法
的
异
同
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3
球( A )A．16个 B．20个 C．25个 D．30个
4．(变式)生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设 计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回 山林，一段时间后，再从中随机捕获500只，其中有标记的 雀鸟有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量
约有____1_0__0__0_0___只．
转盘1，转动转盘，当转盘停止后，指针指向红色区域的概率是 _____2___．
[解析] 由于转盘被等分成 6 个扇形，且红色区域占 3 个扇 形，所以 P(红色)＝21.故填21.
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► 考点五 概率与公平性 例5 四张质地相同的卡片如图25－3所示，将卡片洗匀后，
发生的概率P(A)＝
m n
.
[注意] 事件A发生的概率的取值范围 0 ≤P(A)≤ 1 ，当
A为必然事件时，P(A)＝ 1 ；当A为不可能事件时，P(A)＝ 0 .
3．求随机事件概率的三种方法
(1) 直接列举 法；(2) 列表 法；(3) 树形图 法．
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4．用频率估计概率 m
一般地，在大量重复试验中，事件A发生的频率 n 稳定
定到常数p 附近，且满足0≤ p ≤1.
于是可得 0≤P(A) ≤1.
显然，必然事件的概率是 1，不 可能事件的概率是 0 .
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3、如何用列举法求概率？
1.当事件要经过一步完成时，用 直接列举法列出所有可能情况。
2.当事件要经过两步完成时，用 列表法，列举出所有可能情况。
3.当事件要经过三步以上完成时， 用树形图法，列举所有可能情况。
红、黑三种颜色的小球各1只，甲、乙两人进行摸球游戏，甲先 从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从布袋中摸出一球．
(1)试用树形图(或列表法)表示摸球游戏所有可能的结果；
(2)如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负， 试求乙在游戏中能获胜的概率．
[解析] 甲从袋中摸出一球有三种可能结果，乙从袋中摸出 一球也有三种可能结果，所以可以通过列表法和树形图法解决 此题．
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┃考点攻略┃
► 考点一 事件
例1 下列事件是必然事件的是( C )
A．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组
D．打开电视，正在播放动画片
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数学·新课标（1R3J）
► 考点二 用合适的方法计算概率 例2 在一个布口袋中装有只有颜色不同，其他都相同的白、
的事件，叫做
确定事件包括 必然 事件和 不可能 事件．
[注意] 随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事 件发生的可能性的大小有可能不同．
2．概率的意义
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第25章复习 ┃ 知识归类
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们
发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A