常德市一中 2021 届高三年级第三次月水平检测考试
数学（参考答案）
一、选择题： 1． D 2． C 3． A 4． B 5． D 6．C 7． B
8. B
二、选择题：9. BCD 12． ABC
10. AD
11． ABCD
解析：函数 f (x) 的零点为 x 1，设函数 g(x) 的零点为 x b ，由题有|1 b | 1，即： 0 b 2
a2 b2 c2 2bc cos Aa2 (11 a)2 72 2(11 a) 7 ( 1) ，a 8,b 3 7
选 择 条 件 ② cos A 1 , cos B 9 , A, B (0, )
8
16
，
sin A
1
cos2
A
37 8
，
sin B
1 cos2 B
57 16
，由正弦定理得： a b ， a sin A sin B 3 7
时， g x 0 .∴ g x 在 0，x1 和 x2， 上单调递减，在 x1，x2 上单调递增.
∵ g 0 0 ，∴ g x1 0 .
∵
g
2
e2
a
e2
2
3 2
0 ，∴ g x2 0 .
又∵ g a 0 ，由零点存在性定理可得， g x 在 x1，x2 和 x2， 内各
∵
x
0，
，∴当
x
0 ， 2
时，
h
x
0
；当
x
2
，
时，
h
x
0
，∴
h
x
在
0 ， 2
上单调
递增，在
2
，
上单调递减，即
g
x
在
0 ， 2
上单调递增，在
2
，
上单调递减.∵
g
0
1
a
，
g
2
e2
a
0
，g
e
a
0
.①当1 a
0
，即
0
a
1 时，g0
0
，∴
gx
在ห้องสมุดไป่ตู้
0，
上的图象大致如右图，∴
x0
D
2
2
2
C
易 求 得 AN 5 ， PA 2 2 ， 则 在 PAN 中 ， A
B
cos PAN AP2 AN 2 PN 2 3 10 ，
2AP AN
10
即异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值为 3 10 ． 10
（建系法略）
21．（本题满分 12 分）解：（1）由 g0() 0 有 n 1，又由 f (x) f (x) 有 m 1 ，则 m n 1
g
(
a 2
)
0
2
a
3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. ①
14. 4
15. 1
16． 13 2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17 ． 【 解 析 】 选 择 条 件 ① c 7, cos A 1 , a b 11 ， 7
11 a ，a 6,b 5 . 57
8 16
18． 解：（1） an n ， bn 2n
（2）由题有 cn n 2n ，则
Tn 1 21 2 22 3 23 (n 1) 2n1 n 2n
①
2Tn 1 22 2 23 3 24 (n 1) 2n n 2n1 ②
① - ②得： Tn 21 22 23 2n n 2n1 2n1 2 n 2n1
则Tn (n 1) 2n1 2 . 19．解： f (x) 3(cos x 1) 3 sin x 3 2 3 sin( x )
3
（1）由 f (x) 的最大值为 2 3 有： ABC 的高为 2 3 ，故边长为 4，则 f (x) 的周期
4
x0
) 3
] 4
2
3[
2 2
sin( 4
x0
3
)
2 2
cos( 4
x0
3
)]
76 5
.
20．（1）证明：由已知可算得 BD BC 2 2 ， BD2 BC2 16 DC2 ，
故 BD BC ，又 PD 平面ABCD ， BC 平面 ABCD ，故 PD BC ，
又 BD PD D ，所以 BC 平面 BDP ；
法一： g(x) 在[0, 2] 上有零点 g(x) 0 在[0, 2] 上有解 a x2 3 在[0, 2] 上有解 x 1
y a 与 y x2 3 在[0, 2] 上的图象有交点 2 a 3 x 1
g(0) 0
法二：注意到
g
(x)
必过点（-1，4），则零点
b
[0,
2]
有一个零点，
即此时 g x 在 0， 上有两个零点.
综上所述，当 0 a 1 时， g x 在 0， 上仅有一个零点；当1 a 3 时， g x 在 0， 上有两
个零点.
2
②若1
a
3
时，
g0
1
a
0
，又∵
g
x
在
0 ， 2
上单调递增，在
2
，
上单调递减，
而
g
2
e2
a
0
，从而
gx
在 0，
上图象大致如右图.∴ x1
0 ， 2
，
x2
2
，
，使
得 g x1 0 ，g x2 0 ，且当 x 0，x1 、x x2， 时，g x 0 ；当 x x1，x2
1
（2）解：如图，取 PD 中点为 N，并连结 AN，MN，易证明 BM // AN ，
P
则 PAN 即异面直线 BM 与 PA 所成角； 又 PA 底面 ABCD ，PCD 即为 PC 与底面 ABCD 所成角，
N
M
即 tanPCD 1 ， PD 1 CD 2 ，即 PN 1 PD 1，
2
2
22．（本题满分 12 分）解：(1) f x ex sin x ，定义域为 R .
f x ex sin x cos x
2ex
sin
x
4
.
由
f
x
0
解得
sin
x
4
0 ，解得 2k
3 4
x
7 4
2k
(kZ
).
∴
f
x
的单调递减区间为
3 4
2k，7 4
2k
(
k
Z
).
(2)由已知 g(x) ex sin x ax ，∴ g x ex sin x cos x a .令 h x g x ，则 h x 2ex cos x .
T 8 ，且 f (x) 2 3 sin( x ) 的值域为[2 3, 2 3] ；
4
43
⑵由
f
(x0 )
83 5
有
sin(
4
x0
3
)
4 5
，且
4
x0
3
(
2
,
2
)
则
cos(
4
x0
3
)
3 5
，
f (x0 1) 2
3 sin[ 4 (x0 1) 3 ] 2
3 sin[(
2
，
，使得
g
x0
0
，∴当
x
0，x0
时，
g x 0 ；当 x x0， 时，g x 0 ，∴ g x 在 0，x0 上单调递增，在 x0， 上单
调递减.∵ g 0 0 ，∴ g x0 0 .又∵ g a 0 ，∴由零点存在性定理可得，此
时 g x 在 0， 上仅有一个零点.