数学广角—鸽巢问题
【教学容】
人教版小学数学六年级下册《数学广角--抽屉原理》。
【学情分析】
抽屉原理是学生从未接触过的新知识,难以理解抽屉原理的真正含义,发现有相当多的学生他们自己提前先学了,在具体分的过程中,都在运用平均分的方法,也能就一个具体的问题得出结论。
但是这些学生多数只“知其然,不知其所以然”,为什么平均分能保证“至少”的情况,他们并不理解。
有时要找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“抽屉”,要用几个“抽屉”。
1.年龄特点:六年级学生既好动又敛,教师一方面要适当引导,引发学生的学习兴趣,使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面要创造条件和机会,让学生发表见解,发挥学生学习的主体性。
2.思维特点:知识掌握上,六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少,尤其对于“数学证明”。
因此,教师要耐心细致的引导,重在让学生经历知识的发生、发展和过程,而不是生搬硬套,只求结论,要让学生不知其然,更要知其所以然。
【教学方法】
1.借助学具,学生自主动手操作、分析、推理、发现、归纳、总结原理。
2. 适时引导学生对枚举法和假设法进行比较,并通过逐步类推,使学生逐步理解“抽屉问题”的“一般化模型”。
3.引导学生构建解决抽屉原理类问题的模式:明确“待分的物体”→哪是“抽屉”→平均分→商+1
4.完善评价体系,进行小组捆绑,激励学生全员参与,体验成功的乐趣。
5.师生课前准备:①学生:每组5根小棒、4个杯子;课件②学生记录自己是哪一个月出生的。
③教师准备1副牌。
【教学目标】
知识目标:初步了解抽屉原理,会用抽屉原理解决简单的实际问题。
能力目标:经历抽屉原理的探究过程,通过实践操作发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。
情感目标:通过“抽屉原理”的灵活应用感受到数学的魅力。
【教学重点】经历“抽屉原理”的探究过程,了解掌握“抽屉原理”。
【教学难点】理解抽屉原理,并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教具、学具准备】学生:每组5根小棒、4个杯子;课件
【教学过程】
一、联系生活,激趣导入
用一副牌展示“抽屉原理”。
(师生合作完成魔术)
师:同学们喜欢魔术吗?今天老师客串一下魔术表演,想见识见识吗?请全班同当老师的助手,每一个小组有一副牌,大家知道一副扑克牌有54去掉两王牌,剩52,现在用它变一个魔术。
这个魔术的名字叫“猜花色”。
在组长的组织下每人随意抽五牌先反扣在桌上。
我猜,每位同学的手中至少有两花色是相同的。
是这样的吗?见证奇迹的时刻到了。
请翻牌看看,老师猜得准么?生:猜对了。
生:猜对了,给点掌声吧。
老师为什么猜的那么准,想知道吗?其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理----抽屉原理(板书课题)相信你们认真学习后,会明白的。
(设计意图:老师通过一个魔术展示了在生活里“抽屉原理”问题中的一种,勾起了学生对这个魔术很好奇心,为原本枯燥的数学课注入了活力。
)
师:看看这节课的学习目标。
(指名读一读)
(设计意图:建立明确的目标,就会引起师生注意的集中性和指向性,引起对某类知识,某种能力的强烈注意。
就能在最短的时间,最省力地完成“三个维度”的目标,最有效的提高教学质量。
)
二、动手实验、探究新知
师:为研究这个原理,老师为大家准备了什么?
生:小棒和杯子(板书:小棒、杯子)
师:那我们今天就用小棒和杯子做几个有趣的数学实验来研究这个原理。
(一)第一步:研究4根小棒放入3个杯子中的现象。
1、请看大屏幕:
师:把4根小棒放进3个杯子里,请小组的同学摆摆看,在动手之前请看活动要求:
①4人为一组摆一摆,要求将小棒全部放进去,允许某个杯子空着。
②边摆边记录下来,(记录时:可以用 1 表示小棒,用 0 表示杯子(画一画)看看一共有几种摆法?
师补充:每个组要认真记录不同摆法。
希望每个小组分工合作愉快,开始
2.汇报展示
要求学生边摆边说,老师同时在黑板上板书草图。
可能会出现以下几种放法:
师:大部分学生都摆完了,谁来说说,你们是怎么摆的?
学习小组派代表到台前展示成果。
要求学生边摆边说,老师同时在黑板上板书草图。
可能会出现以下几种放法:
4 0 0 3 1 0
2 2 0 2 1 1
(引导学生明确虽然摆放的顺序不一样,但是同一种放法)
师:老师欣赏这组同学的操作步骤,按一定顺序,可以做到不重复,不遗漏。
师:还有别的放法吗?
生:没有了。
(3)引导观察,得出结论。
引导学生观察4种方法,从而得出:总有一个杯子里面至少有2根小棒。
师:是的,这4种放法,不管怎么放,你有什么发现?)
1组:……(可能会出现不同发现)
2组:我们发现不管怎么放,总会有一个小杯子里面至少有2根小棒。
强调至少!总有
(设计意图:这个环节鼓励每个小组都说出自己的看法,因为学生思维能力的不同,得出的结论也就不同。
只有通过多种思维的碰撞,学生的逻辑思维能力、解决问题的能力才能提高,对抽屉原理的认识才会更加深刻。
)
师:再次观察四种方法,哪种方法能直接得到这个结论。
这种分法,实际就是先怎么分的?(引导平均分)
师:关于平均分有没有问题?我有一个问题,为什么用平均分这一种方法,就能得出总有一个杯子里的至少有2根小棒这个结论。
(二)第二步:研究5根小棒放入4个杯子中的现象。
1、课件出示:5根小棒放进4个杯子里你感觉会出现什么情况。
师:再往下继续研究,5根小棒放在4个小杯子里你感觉会出现什么情况,
生猜测:5根小棒放在4个小杯子,不管怎么放,肯定有一个杯子里至少有2根小棒。
师:对不对需要实验验证,我们还要像刚才那样一一把所有摆法都列举出来吗?用什么方法操作验证这个结论对错就可以了。
生:用平均分的方法就可以了。
师:咱们试试看,小组合作交流,用这种平均分的方法操作验证,并像黑板上那样记录在学案里。
2、展示摆法,引导观察发现:
师:哪一个小组愿意展示分享一下?
生:5根,每个小杯子放一根,剩下的一根放在其中的一个小杯子。
(实际演示一下)
师:谁和他的分法一样的,这种分法,实际就是先怎么分的?(板书:平均分)
3、学以致用---照这样的思路,继续往前走:
课件出示:把7根小棒放进6个小杯子里,总有一个杯子里至少有()根,。
100根小棒放进99个小杯子里,总有一个杯子里至少有()根。
师:这么大的数字,同学们这么快就得出了结论,你是不是发现了什么规律了?(小棒的数量与杯子的数量有什么关系?))还要操作验证吗?说说你的想法。
学生独立解决以上问题,在展示汇报时学生要说明白解决问题的方法是什么。
4、引导学生知识点小结:
师:小棒数比杯子数多1,总有一个盒子至少放进的小棒数怎么算,你用谁加上谁就是我们想要结果?
生1:平均分
师:刚才他这样分,是怎么分的啊?(强调:“平均分”)
(三)第三步:研究研究小棒数比杯子数不是多1的现象
质疑:提出研究小棒数比杯子数不是多1的现象
师:研究到这里,你有什么疑问?
如果小棒数不是比杯子数多1,而是多2、3……结果还是这样吗?请同学们接着探究:
1、课件出示:如果把5根小棒放在3个杯子里,会出现什么情况?请在小
组摆一摆,看哪个小组最快得出来,开始。
2、交流汇报(小组代表上台边摆边说)
生1:我认为至少有3根小棒,因为把5根小棒平均分给3个杯子,就还剩2根小棒,所以总有一个杯子至少有3根小棒。
生2:我认为总有一个杯子里至少有2根小棒。
我是先把3个杯子里各放1根,这样就还剩下2根小棒,我再把这2根小棒分在两个不同的杯子里,至少就是2根小棒了。
师:他们谁说的对呢?我们一起来摆一摆:先平均分掉3根,没问题吧。
那这剩下的2根小棒该怎么分,才能保证至少有几根小棒?
生:剩下的2根小棒分开放,才能保证至少。
师:同意吗?
小结:我们把小棒尽可能地平均分给各个杯子,总有一个杯子比平均分得的小棒数多1。
7、了解抽屉原理。
师:同学们知道吗?我们今天发现的原理其实早在200多年前就被德国数学家狄里克雷发现了,请看大屏幕:
学生读资料。
“抽屉原理”又称“鸽笼原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。
板书设计:
抽屉原理
小棒杯子总有一个杯子至少有:商+1
(物体)(抽屉)(至少数)
4 3 2
5 ÷ 4 =1……1 2
5 ÷ 3 =1……2 2 1111 0 0
7 ÷ 4 =1……3 2 111 1 0
9 ÷ 4 =2……1 3 11 11 0
15 ÷ 4 =3……3 4 11 1 1
m ÷ n =b……c b+1。