超几何分布与二项分布一．选择题（共9小题）1．（2004•辽宁）已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P mA．B．C．D．2．（2011•黄冈模拟）随机变量ξ的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），其中a是常数，则的值为（）A．B．C．D．3．（2008•石景山区一模）已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1，则η的期望值是（）A．1B．C．D．4．设随机变量X的概率分布为P（X=k）=（k=1，2，3，4，5），则=（）A．B．C．D．5．电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2013）等于（）A．B．C．D．6．（2010•江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（）A．P1=P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．以上三种情况都有可能7．（2011•潍坊二模）设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望EX=2，则P（X=2）等于（）A．B．C．D．8．（2012•衡阳模拟）已知随机变量ξ～N（0，a2），且p（ξ＞1）=p（ξ＜a﹣3）的值为（）A．2B．﹣2 C．0D．19．设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（）A．1﹣p B．p C．+p D．﹣P二．填空题（共5小题）10．（2010•上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是_________．11．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为_________．12．（2010•枣庄模拟）设随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，则事件“X=1”的概率为_________（作数字作答．）13．若随机变量X服从二项分布，且X～B（10，0.8），则EX、DX分别是_________，_________．14．（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=_________．三．解答题（共3小题）15．（2009•朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．（Ⅰ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．16．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P=0.2．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．17．（2006•崇文区一模）某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球大战．假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为．现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求：（I）乙队以4：3点球取胜的概率有多大？（II）设点球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2004•辽宁）已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P mA．B．C．D．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，根据等比数列的求和公式，得到答案．解答：解：∵由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，∴根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，∴S==1﹣，∵S+m=1，∴m=，故选C．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，在一个试验中所有的变量的概率之和是1，本题又考查等比数列的和，是一个综合题．2．（2011•黄冈模拟）随机变量ξ的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），其中a是常数，则的值为（）A．B．C．D．考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式．专题：计算题．分析：估计所给的随机变量的分布列的特点，利用无穷等比递缩数列的各项之和写出所有的变量的概率之和，使它等于1，求出a的值，利用互斥事件的概率公式写出结果．解答：解：∵随机变量ξ的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），∴a=1，∴a=，∴=P（ξ=1）+P（ξ=2）==故选C．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是一个综合题目，在解题时一定要注意所有的变量的概率之和的求法，注意应用分布列的性质．3．（2008•石景山区一模）已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1，则η的期望值是（）A．1B．C．D．考点：离散型随机变量及其分布列．分析：由题目中所给的变量的分布列得到变量ξ的期望，根据η=2ξ+1关系，得到两个变量的关系，代入ξ的期望，求出结果．解答：解：由表格得到Eξ=﹣1×+1×=﹣，Eη=E（2ξ+1）=2Eξ+1=2×（﹣）+1=，故选C．点评：本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系，本题也可以这样来解，根据两个变量之间的关系写出η的分布列，再由分布列求出期望．4．设随机变量X的概率分布为P（X=k）=（k=1，2，3，4，5），则=（）A．B．C．D．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：由题意可得P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=1，求出m的值，再根据=P （X=2）+P（X=3），进而求出答案．解答：解：因为所有事件发生的概率之和为1，即P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=1，所以m（++++）=1，即m（1﹣）=1所以m=．所以P（X=k）=（k=1，2，3，4，5），则=P（X=2）+P（X=3）=+=．故选A．点评：解决此类问题的关键是掌握所有事件发生的概率之和为1，进而求出随机变量的分布列即可得到答案．5．电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2013）等于（）A．B．C．D．考点：超几何分布．专题：概率与统计．分析：先求出P（X=0），即第0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论．解答：解：由题意，P（X=0）=∴P（1≤X≤2013）=1﹣P（X=0）=故选B．点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2010•江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（）A．P1=P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．以上三种情况都有可能考点：二项分布与n次独立重复试验的模型；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：每箱中抽到劣币的可能性都相等，故可用独立重复试验求解，又因为事件“发现至少一枚劣币”的对立事件是“没有劣币”，概率好求．方法一概率为1﹣0.9910；方法二概率为1﹣（）5，做差比较大小即可．解答：解：方案一：此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为，没有发现劣币的概率是0.99，故至少发现一枚劣币的总概率为1﹣0.9910；方案二：此方案下，每箱的劣币被选中的概率为，总事件的概率为1﹣（）5，作差得P1﹣P2=（）5﹣0.9910，由计算器算得P1﹣P2＜0∴P1＜P2．故选B点评：本题考查独立重复试验的概率和对立事件的概率问题，以及利用概率知识解决问题的能力．7．（2011•潍坊二模）设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望EX=2，则P（X=2）等于（）A．B．C．D．考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：概率与统计．分析：根据X为随机变量，X～B和求服从二项分布的变量的期望值公式，代入公式得到n的值，再根据二项分布概率公式得到结果．解答：解：∵随机变量X为随机变量，X～B，∴其期望EX=np==2，∴n=6，∴P（X=2）==．故选D．点评：本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．8．（2012•衡阳模拟）已知随机变量ξ～N（0，a2），且p（ξ＞1）=p（ξ＜a﹣3）的值为（）A．2B．﹣2 C．0D．1考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题；概率与统计．分析：利用正态曲线的对称性，可得曲线的对称轴是直线x=0，由此可得结论．解答：解：由题意，∵ξ～N（0，a2），∴曲线的对称轴是直线x=0，∵p（ξ＞1）=p（ξ＜a﹣3）∴a﹣3+1=0∴a=2故选A．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．9．设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=（）A．1﹣p B．p C．+p D．﹣P考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：概率与统计．分析：随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），知正态曲线关于x=0对称，根据P（ξ≥1）=p，得到P（1＞ξ＞0）=﹣p，再根据对称性写出要求概率．解答：解：∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ≥1）=p，∴P（1＞ξ＞0）=﹣p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，故选D．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题的主要依据是曲线的对称性，这种问题可以出现在选择或填空中．二．填空题（共5小题）10．（2010•上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是．考点：超几何分布；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H（3，2，10），利用公式Eξ=，即可求得抽到次品个数的数学期望的值．解答：解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H（3，2，10）∴Eξ=故答案为：点评：本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的期望公式求解．11．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为．考点：超几何分布．专题：概率与统计．分析：从10件产品任取3件的取法共有，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为，．利用互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：从10件产品任取3件的取法共有，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为，．因此所求的概率P==．故答案为．点评：本题考查了互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式，属于基础题．12．（2010•枣庄模拟）设随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，则事件“X=1”的概率为（作数字作答．）考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题．分析：由随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，知n×0.5×（1﹣0.5）=2，解得n=8．再由二项分布公式能够导出事件“X=1”的概率．解答：解：∵随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，∴n×0.5×（1﹣0.5）=2，∴n=8．∴p（x=1）=．故答案为：．点评：本题考查二项分布的性质和应用，解题时要注意二项分布方差公式Dξ=np（1﹣p）的灵活运用．13．若随机变量X服从二项分布，且X～B（10，0.8），则EX、DX分别是8， 1.6．考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题．分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的两个未知量，做出概率．解答：解：∵X服从二项分布X～B（n10，0.8）由Eξ=10×0.8=8，①Dξ=1=np（1﹣p）10×0.8×0.2=1.6，②故答案为8；1.6点评：本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．14．（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望．解答：解：由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：点评：本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基础题目．三．解答题（共3小题）15．（2009•朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．（Ⅰ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．考点：超几何分布；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题．分析：（Ⅰ）先求出从袋中任取1个球是红球的概率，再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有2个红球的概率；（Ⅱ）根据从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是建立等式关系，求出n的值，从而求出红球的个数．（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可；解答：解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则．所以，．答：三次取球中恰有2个红球的概率为．…（4分）（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则，整理得：n2﹣7n+12=0，解得n=3（舍）或n=4．所以，红球的个数为3个．…（8分）（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，且，，，，．所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6P所以，．…（13分）点评：本题以摸球为素材，主要考查相互独立事件的概率的求法，考查了离散型随机变量的期望与分布列，解题的关键是正确利用公式求概率．16．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P=0.2．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．考点：超几何分布；离散型随机变量的期望与方差．专题：应用题．分析：设该批产品中次品有x件，由已知，可求次品的件数（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为；（2）取出的3件产品中次品的件数X可能为0，1，2，求出相应的概率，从而可得概率分布列与期望．解答：解：设该批产品中次品有x件，由已知，∴x=2…（2分）（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为…（4分）（2）∵X可能为0，1，2∴…（10分）∴X的分布为：X 0 1 2P则…（13分）点评：本题以实际问题为载体，考查等可能事件的概率，考查随机变量的期望与分布列，难度不大．17．（2006•崇文区一模）某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球大战．假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为．现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求：（I）乙队以4：3点球取胜的概率有多大？（II）设点球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望．考点：二项分布与n次独立重复试验的模型；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（I）根据相互独立事件的概率公式以及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式进行求解即可；（II）点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，5，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（I）乙队以4：3点球取胜的概率为P==25×=0.1043 （II）点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，5P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==P（ξ=3）==，P（ξ=3）==，P（ξ=5）==∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4 5P∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+5×=3.75点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列，以及二项分布与n次独立重复试验的模型，同时考查了计算能力，属于中档题．。