1、已知22(,)f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 23、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。

且4=x 时，8=y 。

于是)6()3(分分882233837730(4)16(80)33128128(80)775127V y dy y dyy ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰12、求二重极限11lim22220-+++→→y x y x y x .解：原式11)11)((lim 22222200-++++++=→→y x y x y x y x (3分)2)11(lim 220=+++=→→y x y x (6分)13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2.解：设(,,)zF x y z z e xy =+-，则x F y=-， y F x =- ，1z z F e =+11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++， 11y z z z F z x xy F e e ∂-=-=-=∂++ (3分)222111(1)1(1)z z z z z z z z e y e z y e xy yx y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===- ⎪∂∂∂++++⎝⎭ (6分)14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得12x =,"40z =>,12x =为极小值点. (3分) 故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32(6分) 15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .解：2112123182x yyy I dy e dx e e ==-⎰⎰ (6分) 6、计算二重积分22()D x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解：22()D x y dxdy +⎰⎰＝13200d r dr πθ⎰⎰＝8π (6分)17、解微分方程x y y +'=''.解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是)(1)1()1(C dx e x e p dxdx +⎰⎰=---⎰)(1C dx e x e x x +=-⎰])1([1C e x e xx++-=-xe C x 1)1(++-= (3分)⇒2121)1(21])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ (6分)18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.解：=(3分)因为lim 11n n →∞-== 19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131x x -⋅=-,已知 ∑∞==-011n nx x ,11<<-x , (3分) 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n nn n n x x x ,33<<-x . (6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略 解：公司利润为22212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,13842121x x x x得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21==x x ,而 (3分)0411<-=''=x xL A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C ,064802>-=-=B AC D , 所以最优广告策略为：电台广告费用75.0(万元),报纸广告费用25.1(万元). (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z x y x y ∂∂+=∂∂. 证：2233113311113333,x y z z xyx yx y --∂∂==∂∂++22、若∑∞=12n nu 与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.证：由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, (3分)并由题设知∑=12n nu与∑=12n nv都收敛,则)(2212n n n v u∑=+收敛,从而∑∞=+12)(n n nv u收敛。

(6分)1、设22(,)yf x y x y x -=-，则=),(y x f _____________.2、已1()2Γ=5()2Γ＝___________.3、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值，则常数 ________a =4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________5、以xx e C e C y 321+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是__________________.6、已知dx e p x⎰∞+- 0 与⎰ep x x dx1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 0>p (B) 0<p (C) 1<p (D) 10<<p7、对于函数22(,)f x y x y =-,点(0,0)( ).(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点(C) 是极大值点 (D) 是极小值8、已知21()D I x y d σ=+⎰⎰,32()D I x y d σ=+⎰⎰,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则( ). (A) 12I I = (B) 12I I > (C) 12I I < (D) 2212I I =9、方程xxe y y y 265=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 2)(+=(C) x e bx ax y 22)(+= (D)xe bx ax y 223)(+=10、级数∑∞=-12)1(n nn n a 收敛，则级数∑∞=1n na( ). (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定11、求3x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限)1sin 1sin(lim 0xy y x y x +→→.13、设xy y x z -+=1arctan,求22x z ∂∂. 14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.15、计算⎰⎰101d e d yx x xy .D区域.17、解微分方程0='+''y y x .18、判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛12!n nn n 的敛散性.19、将函数x x f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数. 20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润. 21、设222ln z y x u ++=,证明222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=2221x y z ++.22、若∑∞=12n n a 与∑∞=12n nb都收敛,则∑∞=1n nn ba 收敛. （可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题(每小题3分,共15分)1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。