18 解三角形1．[2018·白城十四中]在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，60B =︒，4a =，其面积S =则c =（ ） A ．15B ．16C ．20D ．2．[2018·东师附中]在ABC △中，1a =，π6A ∠=，π4B ∠=，则c =（ ） A B C D 3．[2018·长春质检]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1cos 2b a Cc =+，则角A 为（ ） A ．60︒B ．120︒C ．45︒D ．135︒4．[2018·大庆实验]ABC △中A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 其面积2224a b c S +-=，则中C 的大小是（ ） A ．30︒B ．90︒C ．45︒D ．135︒5．[2018·银川一中]已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC △的外接圆面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π6．[2018·黄冈模拟]如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ， 测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ）A ．mB ．mC ．D m 7．[2018·长春实验]在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，若cos 4cos a C c A =-，π3B =，a =，则cos C =（ ）一、选择题8．[2018·莆田一中]在ABC△中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足2cos cos cosb B a Cc A=+，若b a c+的最大值为（）A．B．3 C．32D．99．[2018·重庆期中]在ABC△中，若22tantanA aB b=，则ABC△的形状是（）A．等腰或直角三角形B．直角三角形C．不能确定D．等腰三角形10．[2018·长春150中]在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4442222ab cca b++=+，若C为锐角，则sin B A的最大值为（）A B1CD11．[2018·长沙模拟]已知锐角ABC△的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2B A=，则sina Ab的取值范围是（）A．⎝⎭B．⎝⎭C．12⎛⎝⎭D ．12⎫⎪⎪⎝⎭12．[2018·江南十校]在ABC△中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，0AB BC⋅>，a=ABC△周长的取值范围是（）A．233,⎛++⎝⎭B．⎭C．⎝⎭D．⎝⎭13．[2018·遵义航天]在ABC△中，3AB=，4AC=，3BC=，D为BC的中点，则AD=__________．14．[2018·黄陵中学]在ABC△中，三个内角A∠，B∠，C∠所对的边分别是a，b，c，若()2sin cos2sin cosb C A A C+=-，且a=，则ABC△面积的最大值是________．15．[2018·江苏卷]在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，120ABC∠=︒，ABC∠的角平分线交AC于点D，且1BD=，则4a c+的最小值为________．二、填空题16．[2018·成都七中]在锐角ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，b ABC△面积的取值范围是__________．1．【答案】C【解析】由三角形面积公式可得11sin4sin6022ABCS ac B c==⨯⨯⨯︒=△据此可得20c=．本题选择C选项．2．【答案】A【解析】由正弦定理sin sina bA B=可得π1sinsin4πsin sin6a BbA⨯===且()()cos cos cos cos sin sinC A B A B A B=-+=--=由余弦定理可得c，故选A．3．【答案】A【解析】1cos2b a C C=+，1sin sin cos sin2B AC C∴=+，()1sin sin cos cos sin sin cos sin2A C A C A C A C C+=+=+，1cos sin sin2A C C=，1cos2A=，60A=︒，故选A．4．【答案】C【解析】∵ABC△中，1sin2S ab C=，2222cosa b c ab C+=-，且2224a b cS+-=，∴11sin cos22ab C ab C=，即tan1C=，则45C=︒．故选C．5．【答案】D【解析】由cos cos22sin sin sinb A a Ba b cRA B C+====⎧⎪⎨⎪⎩，可得1sin cos sin cosB A A BR+=，所以()1sin A BR+=，即1sin CR=，又cos C，所以1sin3C=，所以3R=，所以ABC△的外接圆面积为24π36πs R==．故选D．6．【答案】A【解析】在ABC△中，50mAC=，45ACB∠=︒，105CAB∠=︒，即30ABC∠=︒，答案与解析一、选择题则由正弦定理sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，得50sin 21sin 2AC ACBAB ABC∠===∠，故选A ．7．【答案】D【解析】由余弦定理知，222222422b a c b c a a c ab bc+-+-⋅=-⋅，即4b =，由正弦定理知43πsin sin 3A =，解得sin A =，因为a b <，所以π4A =，()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=，故选D ． 8．【答案】A【解析】2cos cos cos b B a C c A =+，则2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+， 所以()2sin cos sin sin B B A C B =+=，1cos 2B =，π3B =．又有2222231cos 222a cb ac B ac ac +-+-===，将式子化简得223a c ac +=+， 则()()2233334a c a c ac ++=+≤+，所以()2134a c +≤，a c +≤A ． 9．【答案】A【解析】由正弦定理有2222tan 4sin tan 4sin A R AB R B=，因sin 0A >，故化简可得 sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以222πA B k =+或者22π2πA B k +=+，k ∈Z ． 因A ，()0,πB ∈，()0,πA B +∈，故A B =或者π2A B +=，所以ABC △的形状是等腰三角形或直角三角形．故选A ． 10．【答案】A 【解析】4442222a b c c a b ++=+444222222222222a b c a c b c a b a b ∴++--+=，即()2222222a b c a b +-=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2222cos a b c ab C +-=，代入上式，222224cos2a b C a b ∴=，解得cos C ∴= C 为锐角，πA B C ++=，π4C ∴=，3π4B A =-，3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3πsin sin4B A A A Aϕ⎛⎫∴+=-+=+≤⎪⎝⎭1tan3ϕ=，故选A．11．【答案】D【解析】∵2B A=，∴sin sin22sin cosB A A A==，由正弦定理得2cosb a A=，∴12cosab A=，∴sin sin1tan2cos2a A AAb A==．∵ABC△是锐角三角形，∴π2π022π0π32AB AC A<⎧⎪⎪⎪⎨<<=<<=-<⎪⎪⎪⎩，解得ππ64A<<，tan1A<<11tan22A<<．即sina Ab的值范围是12⎫⎪⎪⎝⎭，故选D．12．【答案】B【解析】∵A是B和C的等差中项，∴2A B C=+，∴π3A=，又0AB BC⋅>，则()cosπ0B->，从而π2B>，∴π2π23B<<，∵21sin sin s s3in ina b cA B C====，∴sinb B=，2πsin sin3c C B⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以ABC△的周长为2πsin sin3π6l a b c B B B⎛⎫⎛⎫=++=++-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又π2π23B<<，π2π5π366B<+<，1sin26πB⎛⎫<+<⎪⎝⎭l<故选B．13．【解析】在ABC△中，根据余弦定理，可得2223341cos2339B+-==⨯⨯，在ABD△中，根据余弦定理，可得222331413232294AD⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，所以AD=．二、填空题14．【解析】()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B ∴=-+=-+=-，则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得2cos sin a A A -==，即tan A =，2π3A ∠=， 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥，故4bc ≤，11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△15．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin601sin60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，111a c+=， 因此()11444559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9．16．【答案】⎝⎦【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴π3B =．由正弦定理得2sin sin sin sin 3a cb A C B ====，∴2sin a A =，2sinc C =，∴12πsin sin sin 23ABC S ac B A C A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭△21331cos2sin sin cos sin22242AA A A A A A A ⎫-+==+⎪⎪⎝⎭3πsin2246A A A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴π022ππ032A A <<<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得ππ62A <<．∴ππ5π2666A <-<，∴1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭π26A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，故ABC △面积的取值范围是⎝⎦．。