A(2) 1050
I (1) 20 i1 2% A(0) 1000
I (2) 30 i2 2.94% A(1) 1020
16
1.3 单利 (simple interest)

假设在期初投资 1单位，在每个时期末得到完全相同的利
息金i ，即只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息，
A(n) A(n 1) I ( n) in A(n 1) A(n 1)
14
例：
把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年 末存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别 是多少？
15
解：
A(0) 1000, A(1) 1020, I (1) A(1) A(0) 20 I (2) A(2) A(1) 30
A (0) =

k；
A (t) = k·a(t),
k > 0,
t ≥ 0
11
利息（interest）的数学定义

从投资之日算起，在第 n 个时期所获得的利息金额记为 I(n) ，则
I (n) A(n) A(n 1),

n 1
利息金额 I(n) 在整个时期内产生，但在最后时刻实现（支付、得到）。
1
a(t ) 1
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
对应哪些生活中的实例？
9
a(t)
累积函数？
1
0
t
对应哪些生活中的实例？
10
金额函数（Amount function）

当原始投资不是1个单位的本金，而是 k 个单位时，则把 k 个单位本金的原始投资在时刻 t 的积累值记为A (t) , 称为金额函数。 性质

实际利率i是某个时期获得的利息金额与期初本金之比：
当期利息 a(1) a(0) A(1) A(0) I (1) i ＝ 期初本金 a(0) A(0) A(0)
13
附注：
实际利率经常简称为利率，用百分比来表示，如8% ； 利息是在期末支付的； 本金在整个时期视为常数； 通常的计息期为标准时间单位，如年、月、日。若无特别说明，实际利率是指年利率。 实际利率可对任何时期来计算。第 n 个时期的实际利率为
从时间 t 开始到时间 t ＋ s 所产生的利息等于从时 间 0 开始到时间 s 所产生的利息。即相同的时期产生 相同的利息。
0 s t t+ s
18

假设 a(t) 可导，由导数的定义有
a (t ) a(t )
a(t ) lim
0

a ( ) a (0)
lim
0
21
单利与实际利率的关系：

常数的单利并不意味着实际利率 (effective rate) 是 常数！
in a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1)] 1 i(n 1)
a ( ) 1

lim
0

a(0)
在上式中，用 s 代替 t，并在等式两端从0到 t 积分，即得
a(s)ds a(0)ds
0 0
t
t
a(0) t a(0)
19
a(t ) a(0) t a (0) 1 t a (0)
注：一般假设利息是连续产生的。
7
例：
考察下面常见的积累函数 （1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t
（3）指数：a (t) = (1+0.1)
t
上述3个函数是否满足积累函数的性质？
8
5
4
a(t ) (1 0.1)t
3
2
a(t ) 1 0.1t
• 死亡力
如何度量利率？利息/本金
• 利息力（连续复利）
4
1.1 利息的基本函数

利息（interest）的定义：
借用他人资金所需支付的成本，或出让资金所获得的报酬。
利息存在的合理性
• 资金的稀缺性 • 时间偏好 • 资本生产力
5
关于利息的几个基本概念

本金（principal）：初始投资的资本金额。 累积值（accumulated value ）：过一段时期后收到的 总金额。
现在只需求出 a (0) ，即可求得单利条件下的累积函数 若令t = 1，则由上式有
a (1) 1 a (0)
而由前面可知，a(1) = 1 + i 因此 a (0) i
a(t) = 1 + it
上述推导过程没有限制 t 为正整数，因此对一切大于零 的时间 t 都是成立的。
20
单利的累积函数
利息理论
1
主要内容

利息的度量 年金计算 投资收益 债务偿还 证券定价：债券、股票、衍生产品（远期、期货、互换、 期权） 利率风险
2
利息度量
(1)
（Measurements of interest）
3

在日常生活中：
如何度量速度？距离/时间
• 瞬时速度
如何度量死亡率？死亡人数/期初生存人数
这种计息方式称为单利，i 称为单利率。

单利的积累函数满足下述性质：
a(0) 1 a(1) 1 i a(t ) 1 it

上述单利的积累函数对
t ≥ 0 的整数值才有定义。
17
当 t 为非整数时，单利的累积函数（了解）：

考虑单利的一个直观性质：
a(t s) a(t ) a(s) 1, t 0, s 0
金额函数 A(t) 在时间段 [ t1 , t2 ] 内所获得的利息金 额为
I (t1, t2 ) A(t2 ) A(t1 )
12
1.2 实际利率（effective rate of interest）

实际利率 i 等于某一时期开始时投资1单位本金，在此期 间末应获得的利息：
i a(1) a(0)

利息（interest）——累积值与本金之间的差额。
6
积累函数 (Accumulation function)

累积函数是指期初的1元本金在时刻 t 时的累积值, 通常 被记为a (t) 。 性质：
a (0) = 1； a (t) 通常是时间的递增函数；
当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。当利息是跳跃产生时， a (t) 是间 断函数。