期末复习指南第二部分：厂商理论一、叙述题1.厂商利润最大化条件的意义及应用边界；厂商成本最小化条件的意义及应用边界（新加）（1）写出利润最大化的形式化描述。

（2）利润最大化的一阶条件和意义（三个）。

（3）应用边界：生产函数不能微分；某些投入要素可能取0值；可能不存在利润最大化生产技术。

（4）写出成本最小化的形式化描述。

（5）成本最小化的一阶条件和意义。

2.分析生产集的性质（1）非空的；（2）闭凸；（3）没有免费的午餐；（4）不生产是可能的；（5）自由处置；（6）不可逆性；（7）规模报酬；（8）可加性。

3.阐述欧拉方程和克拉克分配定理的理论意义和现实意义。

（1）欧拉方程:x1f< x2f2 = kf （x1,x2）经济意义：投入要素X1和X2与其边际产品的乘积之和等于k 倍的产出量。

（2）克拉克定理:X f f「x2 f2 = f （x,, x2）经济意义：总产出可按投入要素的边际产品完全分配。

(3)现实意义：每种投入按其边际产出将全部产品耗尽按这种理论分析，则最大化长期利润等于0 (长期每种生产要素都可以调整)。

4.证明利润函数是价格的凸函数。

令价格分别为p, p, p时的产出为y, y, y ,其中P = t p (V t)p:(p ) = p y = [t p (V t)p ]y = t py (V t)p ypy £ py (因为y是价格p下的利润最大化产出，其他产出的利润都小于py)同理，p y - p y，代入(*)得到：:(p p t py (Vt)py = t (p) (1-1) (p )5.给出要素需求函数、条件要素需求函数、成本函数及利润函数形式化描述，并解释经济意义。

说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。

(1)要素需求函数：利润最大化问题的解(最优要素投入)(2)条件要素需求函数：成本最小化问题的解(最优要素投入)(3)成本函数：实现一定产量的最小化成本(4)利润函数：在一定技术约束下的最大化利润二、计算题1产商的生产函数f （X i ，X i ）= X I 13X 213，求其（1）要素需求函数和条件要素需求函数；（2）成本函数和利润函数。

（1）先求条件要素需求函数 求解成本最小化问题：min WN + W 2X 2s.t. y=x ：/3x 2/3建立拉格朗日函数：L = W 1X ^ W 2X 2 + 入（y - X 1/3X 23）三个一阶条件：L 1 . -2/3 1/3i —2/3 i/3=W i -「 X i X 2 = 0 = W i = —AX i X 2（1X i 33L1 r -2/3 1/3i —2/3i/3二 W 2 X 2 X !二 0 W 2 = —扎X 2X i（X 2 33L /3 1/3 1/3 i/3 3(i)W 2X 2=y - 片 X 2 =0= y = X i X 2 二y 二c7v(2)W 2X i3 y 3 地=XM 匹=x ；，得到：X 2 = y 2、WW 2 X 1 v W 2 3 |—同理可以求得x 厂y W 2\l W 1这两个式子就是条件要素需求函数。

（2）成本函数c(w 「w 2,y)二 w 1x 1 w 2x 2(3) 求要素需求函数 求解利润最大化问题1 3-1 227 p X 2 = wz = X 2 二这两个式子就是要素需求函数。

(4) 求利润函数将两个要素需求函数带入利润函数 兀(P, y) = p x ；/3x ；/3— w 1X^ - w 2x 2P3P P 3P P3w；1/3 2/3w 23w2/3 1/3 1w 2 27w 1w 227w j w 23333P P P _ P 9ww 227w 1w 2 27w 1w 2 27w 1w 22、产商的生产函数1313f ( X !, X !X 1 x 2，(1)用二种方法求max1/3 1/3y =捲 x 2py _ w/ _ w 2x 2 1 -p xs.t.1-2/31/3PX 1X 2-则=二X 1 3"1 _2/3cn-2/3•x ；/3= w 1L 、X 2X ；/3 _ w 2=1-2/3 PX 2x ；/3= w 2(2)(2)2 1 2=9PX 2-4/3 2/3X iw ；，乘以 (1)得到:3—，同理 27w 1w 2 27wfw 23 2=w y1 i3二 2w 12w 22y 2其供给函数（2）假定生产要素2固定为k，再重新求其供给函数。

（1）用三种方法求其供给函数方法一：根据霍特林定理，对利润函数求关于产品价格的导数。

p3"二（p,w「W2），则供给函数y=—27w1w2d p方法二：将要素需求函数代入生产函数3— P -X1 厂，X2 二7W j w 方法三：MC=p 27w1w29w1w23P27w1w|1/3 1/3y = % x 33 wj w2p33 w1w9w1w2丄 1c(w!, w2, y)二2-!2w22y1C 1 1 1y（2）假定生产要素2固定为k 求解利润最大化问题p2，得到:2y=9JP-9W|W2max 二二py _ w1x^ w2k—1 px^-2/3k1/^w^0- x1 31/3 | 1/3厂X i ks.t.1-2/3 1/3px k w第三部分不确定性选择 ，、叙述题1. 给出简单彩票、复合彩票、货币彩票及彩票空间的独立 性公理的形式化描述，并解释经济意义。

（1） 彩票：（P ； A,C ）由备选结果集和相应概率描述。

（2） 货币彩票：W = （J,.；人，…X n ）。

基于货币收益X 的 所有货币彩票的集合为货币彩票空间L ，W L o （3） 复合彩票：l j 为第j 个简单彩票：lj = （p1，…,p*/，…,X n ）, j = 1,…，k ,k送aj =1时，则复合彩票表示为L =俨仆…，口 k ；h,…，l k ）,j -1（4） 独立性公理。

对于任意匚丄2丄3 L,：「（0,1）,当且仅 当：经济意义：不确定条件下选择时，各项结果不存在组合问1 273 _2p X i 3.p k 23 = X ；，即X i p 3/2「k3 3w ；/2供给函数为:1/3] 1/3y = x ； k1/2 1/6P k k1/3• 3w/2 kL 1 （1「儿3：丄2 1 儿3L 「（1 - ：山 ~ ：L 2 （1 - ：山 L 「L 2L 1~L 2题，即选择是独立的。

2 •写出并证明绝对和相对风险系数不变的效用函数。

「…四，令U(x)=y，则「…叫u (x) y3•简要分析保险需求理论的基本框架。

保费率为-：，投保人预交保险费为-q，灾害后获得的赔偿金额为q。

片=m -二q ；X2 = m - L -二q q = m - L (1 - 二)q公平保费率：厂满足：([- p)m p(m - L)二([- p)(m - 二q) p(m-二q - L q)解方程有：=p，就是说保费率与投保的灾害发生率一致，它就是公平的。

现实中，保险公司需要以保费收入冲抵运营成本，所以一般」p。

4•简要分析资产组合理论的基本框架初始财富W0，效用函数u();两类资产：安全资产和风险资产。

风险资产的收益率为▼｛「仆叨，r1 0，—0，相应的概率为f ,V ｝。

两种资产的投资比例分别为a和b o投资于风险资产的最优比例b*可以通过求解：)得到。

max二u(W0 brj (V ) U(W D br21、计算题1 •假定个人具有效用函数u(x)二x , ( 1)计算当财富水 平W = 5时的绝对和相对风险规避系数。

(2)计算彩票(16412,12)的确定性等价和风险溢价(3)计算彩票 (36,16;12,1 2)的确定性等价和风险溢价。

将这一结果与(2) 比较，并解释。

对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能 有相同的风险溢价。

解:1e 2 3)x22(3) c(w)二 25，E(w)二 26，R(w)二 E(w) - c(w)二 1对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能 有相同的风险溢价。

2•—决策者的效用函数为u(x)二一 x ，初始财富160000, 5%损失2 —-4,c(w)二 9 3(2) u(c(w))二 JTu(xj u (X 2)，E(w)=JIX 2 二丄16 丄4 二 10，R(w)二 E(w)- c(w)二 1 2 270000，5%损失120000,问其愿意支付的最大保险金额多大？如果保险公司不承担损失中的7620,其愿意支付的最大保险金额又多大？解答：用确定性等值5% 160000^70000 5% 160000二120000 90% 160000=160000FR = 11775(2)5% 160000=70000 5% 160000=120000 90% • 160000 二5% 160000 - 7620 - R 5% 160000 - 7620 - R 90% 160000 - R R 二11004第四部分：局部、一般均衡和福利经济学1 •设某垄断厂商的成本函数为c(q) = 50 • 20q，市场的需求函数为p = 100 - 4q，求其进行完全价格歧视和没有进行完全价格歧视两种情况下的利润、产量和价格。

(1)非价格歧视时：R = pq = (100 - 4q)q , MR T00 - 8qMR二MC= 100-8q=20，得到：q = 10, p= 60—10 60 -(50 20 10) = 350(2)完全价格歧视时：企业的利润=全部的消费者剩余■企业的总成本q兀=J。

(100_ 4x)dx_ (50+ 20q)=80 - 4q = 0 二q= 20 , p = 100 - 4 20 = 20dq20兀=(0 (100 - 4q)dq-(50+ 20 显20) = 1200- 450= 750 2.—个卖方垄断者为两个空间上分离的市场服务，在这两个市场上，可以采取两种价格，不必担心市场之间的竞争和返销。

卖方垄断者的需求和生产成本函数为：2P i = 100-2q，P2 = 120-3q2，c = 80(q q?) - G q?),请确定口，p2,q,q2的值。

解答：由于两个市场分离，因此两个市场的价格、需求量独立& n d JImax 二=y p2q^ c，0，03•考虑具有下列结构的行业。

50个以竞争方式行动的厂商，具有相同的成本函数c(y)=y2/2，—个具有零边际成本的垄断者。

产品的需求曲线由下式给出 D = 1000- 50p。

(1)什么是垄断者的利润最大化产量？ ( 2)什么是垄断者的利润最大化价格？ ( 3)在此价格下，该竞争部门供给多少？解答：竞争厂商的供给：p二MC二y竞争厂商的总供给：y c二50y二50P由市场均衡：D(p)=S(p)，1000- 50p = 50p y m垄断者的产量： y m = 1000- 100PR = y m p = (1000 - 100p)p , MR = 1000- 200p = MC = 0 解得：p = 5 , y m 二 500, y c 二 250。