第2课时
函数的最大(小)值
【读一读学习要求，目标更明确】
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1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义； 2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数，体会 求函数最值是函数单调性的应用之一． 【看一看学法指导，学习更灵活】 通过实例，使学生体会到函数的最大(小)值，实际上是 函数图象的最高(低)点的纵坐标，因而借助函数图象的直观 性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识.
填一填·知识要点、记下疑难点
第2课时
1．函数的最大值、最小值
最值
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最大值
最小值
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： (1)对于任意的 x∈I，都有 (3)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M 条件 ______________. _____________. (2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M ______________. (4)存在 x0∈I，使得
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第2课时
由二次函数的知识，对于函数 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，
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我们有： 14.7 当 t＝－ ＝1.5 时，函数有最大值 h＝ 2×－4.9 4×－4.9×18－14.72 ≈29. 4×－4.9 于是，烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地 面的高度约为 29 m.
.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
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1．函数 f(x)在[－2,2]上的图象如图所
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示，则此函数的最小值、最大值分 别是( C )
A．f(－2)，0 C．f(－2)，2
B．0,2 D．f(2)，2
解析
观察函数图象知， 图象最低点的纵坐标为 f(－2)，
最高点的纵坐标为 2，故选 C.
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(2)由题意知 y＝1
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1 x＋ 600
600 ＋160 000(0<x≤40)， x
设 0<x1<x2≤40，则
y1－y2＝1
1 x1＋ 600
600 1 600 x ＋ x1 －1 600 2 x2
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f(x0)＝M _____________.
结论 M 是函数 y＝f(x)的最大值 M 是函数 y＝f(x)的最小值
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2.函数最值与单调性的联系
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(1)若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则 f(x)的最
f(a) f(b) 大值为________，最小值为________．
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问题 2 你能根据函数 f(x)＝－x2 在(－∞， 0]上是增函数， 在[0，＋∞)上是减函数来确定当 x 的值取何值时，函 数值是最大还是最小？
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答
对 于 函 数 f(x) ＝ － x2 ， 同 理 可 知 x ∈ R 都 有
f(x)≤f(0)．即 x＝0 时，f(0)是函数值中的最大值．
小结
函数最大值定义：一般地，设函数 y＝f(x)的定义
域为 I.如果存在实数 M 满足： (1)对于任意 x∈I 都有 f(x)≤M.(2)存在 x0∈I，使得 f(x0) ＝M.那么，称 M 是函数 y＝f(x)的最大值．
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问题 3 你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y＝f(x)
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第2课时
2 所以，函数 y＝ 在区间[2,6]上是减函数． x－1
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2 因此， 函数 y＝ 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大 x－1 值与最小值，
即在 x＝2 时取得最大值，最大值是 2，
2 在 x＝6 时取得最小值，最小值是 . 5
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1 2．函数 f(x)＝ 在[1，＋∞)上( A ) x A．有最大值无最小值
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B．有最小值无最大值 D．无最大值也无最小值
C．有最大值也有最小值
解析
1 函数 f(x)＝ 是反比例函数， x∈(0， 当 ＋∞)时， x
函数图象下降， 所以[1，＋∞)上 f(x)为减函数，f(1)为 f(x)在[1，＋∞) 上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选 A.
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第2课时
小结
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要熟记常见函数的单调性：一次函数 y＝kx＋
b(k≠0)，当 k>0 时单调递增，当 k<0 时单调递减；二次 函数 y＝ax ＋bx＋c(a≠0)，当 a>0
2
b 时，在－∞，－ 上 2a
b 单调递减，在－ ，＋∞上单调递增，a<0 时相反；y＝ 2a
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(4)当 1<t，即 t>1 时， f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3， f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3. 设函数最大值为 g(t)，最小值为 φ(t)时，则有
2 t ＋2t－3t≤－1 t2－2t－3t≤0 g(t)＝ 2 ，φ(t)＝－4－1<t≤1 t ＋2t－3t>0 t2－2t－3t>1
2[x2－1－x1－1] 2 2 则 f(x1)－f(x2)＝ － ＝ ＝ x1－1 x2－1 x1－1x2－1 2x2－x1 . x1－1x2－1
由 2≤x1<x2≤6，得 x2－x1>0，(x1－1)· 2－1)>0， (x 于是 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．
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的最小值的定义吗？
答 最小值的定义： 一般地： 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M，满足：(1)对于任意 x∈I，都有 f(x)≥M.(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M.那么，称 M 是函 数 y＝f(x)的最小值．
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例1
第2课时
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问题探究三 一元二次函数在闭区间上的最值
第2课时
例 3 求二次函数 f(x)＝x2－2ax＋2 在[2,4]上的最小值．
解 ∵函数图象的对称轴是 x＝a，
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∴当 a<2 时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当 a>4 时，f(x)在[2,4]上是减函数，
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是
期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，
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那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少(精确到 1 m)?
解 作出函数 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋ 18 的图象(如图)．显然，函数图象的 顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的 横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻， 纵 坐标就是这时距地面的高度．
此类问题应注意对称轴的变化对最值的影响．
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跟踪训练 3 已知函数 f(x)＝x2－2x－3，若 x∈[t，t＋2] 时，求函数 f(x)的最值．
解 ∵对称轴 x＝1，
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(1)当 1≥t＋2 即 t≤－1 时， f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3， f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 当 2≤a≤4 时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
6－4a，a<2 2－a2，2≤a≤4 . ∴f(x)min＝ 18－8a，a>4
观察演示
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小结
此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题，
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解
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6 400 (1)由已知池底的面积为 ＝1 600(平方米)，底面的 4
1 600 另一边长为 x 米，
则池壁的面积为
1 2×4×x＋
1 x＋ 600
600 x 平方米．
所以总造价 y＝1
600 ＋160 000(元)， x∈(0， ＋∞)． x
(2)若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则 f(x)的最
f(b) f(a) 大值为________，最小值为_________．
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问题探究一 函数的最大(小)值的概念 问题 1 你能根据函数 f(x)＝x2 在(－∞， 0]上是减函数， 在[0， 本 课 ＋∞)上是增函数来确定当 x 的值取何值时， 函数值最小吗？ 栏
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288 000.
所以当池底是边长为 40 米的正方形时，总造价最低为 288 000 元．
小结
(1)求解实际问题一般分成四步，即：设元—列式
—求解—作答． (2)实际问题要注意函数自变量的取值范围．
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跟踪训练 2 某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利 润(单位：万元)分别为 L1＝－x2＋21x 和 L2＝2x，其中 x
目 开 关
答 当 x＝0 时，函数值最小．因函数 f(x)＝x2 在(－∞， 0]上是减函数，所以当 x≤0 时，则 f(x)≥f(0)，又因函数 f(x)＝x2 在[0，＋∞)上是增函数，所以当 x≥0 时， f(x)≥f(0)．从而 x∈R.都有 f(x)≥f(0)．因此 x＝0 时，f(0) 是函数值中的最小值．