22
例题
解出
a0 5.289 , a1 0.394 , a2 3.581
因此所求的拟合函数为
( x) 5.289 0.394 sin

5
x 3.581cos

10
x
23 23
例题
例3.3 已知观测数据(1，-5)，(2，0)，(4，5)，(5，6)，
试用最小二乘法求形如
T T
即
4 a 45 46 4 1.3525 b 2.55
解得
a 1.537650114 b 6.432976311
于是所求拟合曲线为
y 1.537650 x 6.43297拟合
已知观测数据(1，5)，(2，21)，(3， 46)，试用最小二乘法求形如
i 0 i 0
n
n
( x ) a j j ( x )
j 0
m
7
例题
例3.1 某合金成分x与膨胀系数y之间的关系有 如下实验数据，求膨胀系数y与成分x的拟合曲 线y=P(x)。 i x y 0 37 1 38 2 39 3 40 4 41 5 42 6 43
3.40 3.00 2.10 1.53 1.80 1.90 2.90
d (e e) T 2 A (b Ax) 0 dx
T
A (b Ax) 0
T
17
线性矛盾方程组（续）
A Ax A b 0
T T
A Ax A b
T T
(3.13)
该式称为方程组Ax＝b 的法方程。因此，求解n阶矛盾 方程组的问题转化求解m阶线性方程组的问题。
18
例题
写成矩阵形式，为
Aw y
其中
x0 x 1 A x2 x3
1 / x0 1 / x1 1 / x2 1 / x3
y0 y 1 y y2 y3
a w b
26
例题
其法方程为
A Aw A y
y ax
b
上的经验公式。
28
非线性最小二乘拟合
5 a 1
b b b
21 a 2
46 a 3
得到的是非线性方程组，求解通常
比较困难。
29
非线性最小二乘拟合
y ax （ 1）
b
两边取对数，得
lg y lg a b lg x
令 w lg y , A lg a , z lg x , 则得
解得
a0 268.010, a1 13.171, a2 0.163
于是所求拟合曲线为
p2 ( x) 268.010 13.171x 0.163 x
2
14
线性矛盾方程组
方程个数大于未知量个数的方程组称为矛盾方程 组，一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1m xm b1 a x a x a x b nm m n n1 1 n 2 2
3.40 3.00 2.10 b 1.53 1.80 1.90 2.90 12
例题
得
Aw b
上述方程组称为矛盾方程组。两边同乘以 A
T
AT Aw AT b
即
13
例题
280 11228 a0 16.63 7 280 11228 451360 a 661 . 2 1 a 26368.2 11228 451360 18188996 2
w A bz
30
非线性最小二乘拟合
bx y ae （ 2）
两边取自然对数，得
ln y ln a bx
令 w ln y , A ln a , z x , 则得 w A bz
31
非线性最小二乘拟合（续）
x y ab （ 3）
两边取对数，得
lg y lg a x lg b
即
15
线性矛盾方程组（续）
Ax＝b
（3.11）
A是 n ×m阶的列满秩矩阵, x是 m维 的列向量, b是 n维的列向量,
剩余向量 e b Ax
e e e 2 b Ax 2 min
T
2
2
（3.12）
16
线性矛盾方程组（续）
e e (b Ax) (b Ax)
T T
令
w ln y , A ln a , z x ,
则上式 成为关于A，b 的线性函数
w A bz
36
例题
根据数据(x , y) 算出对应的(z , w) , 得下表 z w 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 1.6292 1.7561 1.8764 2.0082 2.1353
例题
其法方程为
A Aw A y
T T
即
0.0 5.6957 a0 16.6300 7 0.0 4 . 3090 0 . 0 a 1 . 6980 1 a 12.9064 5 . 6957 0 . 0 4 . 8090 2
20
例题
写成矩阵形式，为
Aw y
其中
1 x0 1 x1 A 1 x6
2 x0 2 x1 2 x6
y0 y 1 y y3
a0 w a1 a 2
21
sin( 37) cos( 37) 5 10 sin( 38) cos( 38) 3.40 5 10 3.00 sin( 39) cos( 39) a 2.10 5 10 0 a 1.53 sin( 40) cos( 40) 1 5 10 a 1.80 2 sin( 41) cos( 41) 5 10 1.90 2.90 sin( 42) cos( 42) 5 10 sin( 43) cos( 43) 5 10
2
a0 41a1 41 a2 1.80
2
a0 42a1 42 a2 1.90
2
a0 43a1 43 a2 2.90
2
10
例题
1 1 1 1 1 1 1
37 37 3.40 3.00 2 38 38 2 39 39 a0 2.10 2 40 40 a1 1.53 2 a 1.80 41 41 2 2 42 42 1.90 2 2.90 43 43
3
数据图
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12
4
曲线拟合
已知的离散数据yi=f(xi) (i=0,1,2, …,n)往往是 通过观测而得到的，经常带有观测误差。
曲线拟合：希望找到—条曲线，它既能反映 结定数据的总体分布形式，又不致于出现局部较 大的波动。这种逼近方式．只要所构造的逼近函 数(x)与被逼近函数 f(x)在区间[a,b]上的偏差满 足其种要求即可。
2
11
例题
得到的方程组称为矛盾方程组。令
1 1 1 A 1 1 1 1
37 37 2 38 38 39 392 2 40 40 , 41 412 2 42 42 2 43 43
2
a0 w a1 , a 2
令
w 1 / y , z 1 / x,
则得
w a bz
34
例题
例3.4 给定实验数据 x 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
y
5.10 5.79 6.53 7.45 8.46
bx y ae 试求形如 的拟合函数。
35
例题
解 对拟合函数的两边取自然对数，即
ln y ln a bx
建立法方程
7.5 A 9.4052 5 7.5 11.875 b 14.4239
37
例题
解得
A 1.1225 , b 0.5057 , a e A 3.0725
因此，所求的拟合函数为
y 3.0725e 0.5057 x
5
偏差
设给定数据点 (xi,yi), (i=0,1,2, …,n),记
ei ( xi ) yi
并称ei为偏差。
(i 0,1,2,, n),
6
最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法：以使得偏差的平方和
最小为标准
E ei2 w( xi )[( xi ) yi ]2 min
8
例题
解 将数据标在坐标纸上，由散点图可以 推断他们大致分布在一条抛物线上。为 此取
p2 ( x) a0 a1 x a2 x
2
9
例题
a0 37a1 37 a2 3.40
2
a0 38a1 38 a2 3.00
2
a0 39a1 39 a2 2.10
2
a0 40a1 40 a2 1.53
上的经验公式。
b ( x) ax x
24
例题
解：记
x0 1, y0 5; x1 2, y1 0; x2 4, y2 5; x3 5, y3 6;
按题意，得矛盾方程组，
axi b xi yi
写成矩阵形式，为
(i 0,1,2,3)
25 25
例题
38