信息光学习题答案第一章 线性系统分析1、1 简要说明以下系统就是否有线性与平移不变性、 (１) (2) (3） (4） (5） 解：（１）线性、平移不变; (2）线性、平移不变; （3）非线性、平移不变; （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。
1、２ 证明证明:左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边=0,当n 为偶数时,右边＝所以当n 为偶数时,左右两边相等。
1、3 证明证明:根据复合函数形式得δ函数公式式中就是h （x)=０得根，表示在处得导数.于就是1、4 计算图题1、1所示得两函数得一维卷积。
解:设卷积为g （x)。
当—１≤ｘ≤０时，如图题1、1（a ）所示,图题１、1 当０ < x ≤１时,如图题1、1(b)所示， 即1、5 计算下列一维卷积。
（1） （２) (3）解：(1)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-*⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-*-25.22121232121)32(x rect x rect x x rect x δδ (2)设卷积为ｇ（x)，当x ≤０时，如图题1、2(a ）所示，当0 〈 x 时,如图题1、2(b ）所示图题1、2即 （３）１、６ 已知得傅立叶变换为,试求 （1） （2) 解:设 即 由坐标缩放性质 得（1)(){}{})ex p()ex p(/ex p(ex p 22222ξπππππ-=-=-℘=-℘z yx（2）1、7 计算积分、(1） （2) 解：应用广义巴塞伐定理可得（１)32)1()1()()()(sin )(sin 121222=-++=ΛΛ=⎰⎰⎰⎰-∞∞-∞∞-ξξξξξξξd d d dx x c x c (2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Λ=⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-ξξδξξξδξπd d xdx x c 21)(21)(21cos )(sin 2１、8 应用卷积定理求得傅里叶变换、解:{}{}{}⎪⎭⎫ ⎝⎛*=℘*℘=℘2)(21)2(sin )(sin )2(sin )(sin ξξrect rect x c x c x c x c当时，如图题１、3(ａ）所示，当时，如图题１、3(b)所示，当时，如图题1、3(ｃ）所示，2G （ξ）得图形如图题1、3(d)所示,由图可知图题1、3 1、9 设,，求 解:{}⎰⎰∞∞---+-=-℘0)2ex p()ex p()2ex p()ex p()ex p(dx x j x dx x j x x πξβπξββ1、1０ 设线性平移不变系统得原点响应为，试计算系统对阶跃函数得响应、 解:由阶跃函数定义得 线性平移不变系统得原点响应为所以系统对解阶跃函数得响应为⎰∞>--=--=*=00),ex p(1)](ex p[)()()(x x d x x h x step x g αα1、１1 有两个线性平移不变系统,它们得原点脉冲响应分别为与、试计算各自对输入函数得响应与、解：1、12 已知一平面波得复振幅表达式为试计算其波长λ以及沿方向得空间频率。
解:设平面波得复振幅得表达式可以表示成以下形式)]cos cos cos (exp[)exp(),,(γβαz y x jk a r k j a z y x U ++=•= 由题可知，又因为 所以 波长为 沿方向得空间频率为1、13 单色平面波得复振幅表达式为求此波在传播方向得空间频率以及在方向得空间频率、解：设单色平面波得复振幅得表达式可以表示成以下形式)]cos cos cos (exp[)exp(),,(γβαz y x jk a j a z y x U ++=•=由题可知,又因为 所以 波长为 沿方向得空间频率为 1423cos ,141cos ,1421cos πλγζπλβηπλαξ======第三章 光学成像系统得传递函数3、１ 参瞧图3、１、１,在推导相干成像系统点扩散函数(3、1、５)式时，对于积分号前得相位因子试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子 相对于它在原点之值正好改变π弧度?（2）设光瞳函数就是一个半径为a 得圆，那么在物平面上相应h 得第一个零点得半径就是多少？（３)由这些结果，设观察就是在透镜光轴附近进行,那么a , λ与d o 之间存在什么关系时可以弃去相位因子解:（1）由于原点得相位为零，于就是与原点相位差为π得条件就是 (2)根据⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=dxdyy y y x x x d j y x P d d dxdy y My y x Mx x d j y x P d d y x y x h o i o i i i o o i o i i io i i o o ])~()~[(2exp ),(1])()[(2exp ),(1),;,(22λπλλπλ相干成像系统得点扩散函数就是透镜光瞳函数得夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点ρρπλλλπλ)2(1~1])~()~[(2exp ),(1),;,(122222a aJ d d a r circ B d d dxdy y y x x d j y x P d d y x y x h io i o o i o i i io i i o o =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=⎰⎰∞∞-式中,而(1) 在点扩散函数得第一个零点处，此时应有,即（2）将（2）式代入(1）式，并注意观察点在原点，于就是得(3)（3)根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须就是物面上所有点在像面上得点扩散函数对于原点得贡献。
按照上面得分析，如果略去h 第一个零点以外得影响,即只考虑h 得中央亮斑对原点得贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近范围内得小区域。
当这个小区域内各点得相位因子变化不大，而降它弃去.假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度（例如π/１6)就满足以上要求,则，也即(4）例如λ ＝60０nm , d o = 60０mm ，则光瞳半径a ≥1、４6mm ，显然这一条件就是极易满足得。
３、２ 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为放在图3、1、１所示得成像系统得物面上,用单色平面波倾斜照明，平面波得传播方向在平面内,与z 轴夹角为θ.透镜焦距为f ，孔径为D 。
（1） 求物体透射光场得频谱;（2） 使像平面出现条纹得最大θ角等于多少？求此时像面强度分布； (3） 若θ采用上述极大值,使像面上出现条纹得最大光栅频率就是多少?与θ＝０时得截止频率比较，结论如何?解:（1)斜入射得单色平面波在物平面上产生得场为,为确定起见设θ＞ 0,则物平面上得透射光场为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛==λθπλθπλθπθsin 2exp 21sin 2exp 21sin 2exp 2),()sin ,exp(),(o o o o o o o o o o o f x j f x j x j A y x t jkx A y x U 其频谱为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=℘=λθξδλθξδλθξδηξsin 21sin 21sin 2)},({),(o o o o o f f A y x U A 由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了sin θ/λ距离。
（2）欲使像面有强度变化,至少要有两个频谱分量通过系统。
系统得截至频率,于就是要求由此得(1） θ角得最大值为（2） 此时像面上复振幅分布与强度分布为（３)照明光束得倾角取最大值时,由（１)式与（2)式可得即 (3） θ=0时,系统得截止频率为,因此光栅得最大频率（4）比较(3)与（４)式可知,当采用倾角得平面波照明时系统得截止频率提高了一倍，也就提高了系统得极限分辨率,但系统得通带宽度不变。
3、3 光学传递函数在处都等于1,这就是为什么?光学传递函数得值可能大于1吗？如果光学系统真得实现了点物成点像,这时得光学传递函数怎样？解:在⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞--==ℵiiiiIiiiiiiII Idydx y x h dydx y x j y x h H H ),()],(2exp[),()0,0(),(),(ηξπηξηξ（1）式中,令为归一化强度点扩散函数，因此（１)式可写成而 即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源得总光通量将全部弥漫在像面上，着便就是归一化点扩散函数得意义. （2）不能大于1。
（３）对于理想成像,归一化点扩散函数就是δ函数，其频谱为常数１,即系统对任何频率得传递都就是无损得。
3、４ 当非相干成像系统得点扩散函数成点对称时，则其光学传递函数就是实函数、 解:由于就是实函数并且就是中心对称得,即有，,应用光学传递函数得定义式⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞--==ℵiiiiIiiiiiiII I dydx y x h dydx y x j y x h H H ),()],(2exp[),()0,0(),(),(ηξπηξηξ易于证明,即为实函数３、５ 非相干成像系统得出瞳就是由大量随机分布得小圆孔组成。
小圆孔得直径都为２a ，出瞳到像面得距离为d ｉ，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波.系统得截止频率近似为多大?解：用公式来分析。
首先,由于出瞳上得小圆孔就是随机排列得，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积,其结果都一样,即系统得截止频率在任何方向上均相同。
其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身得重叠情况,而不计及与其它小孔得重叠。
这时N 个小孔得重叠面积除以N 个小孔得总面积，其结果与单个小孔得重叠情况就是一样得，即截至频率约为，由于2ａ很小,所以系统实现了低通滤波。
第四章 部分相干理论4、1 若光波得波长宽度为Δλ，频率宽度为Δν,试证明:.设光波波长为,试计算它得频宽Δν ＝ ? 若把光谱分布瞧成就是矩形线型,则相干长度证明：因为频率与波长得关系为 (其中c 为光速) 对上式两边求导得 所以 因所以有因为相干长度4、２ 设迈克耳孙干涉仪所用光源为得钠双线，每一谱线得宽度为０、01nm 、 （1)试求光场得复相干度得模;(2)当移动一臂时,可见到条纹总数大约就是多少？ (3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？解:假设每一根谱线得线型为矩形，光源得归一化功率谱为（１）光场得复相干度为 式中,复相干度得模为由于，故第一个因子就是τ得慢变化非周期函数，第二个因子就是τ得快变化周期函数。