21、如图，抛物线 y x bx c 与x 轴交与A （1,0）,B （- 3 ，0）两点， （1 ）求该抛物线的解析式；（2 ）设（ 1 ）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在 点 Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请 说明理由 .2、（2009 年兰州） 如图 17 ，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 . （1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架” AD- DC- CB ，使 C 、D 点在抛物线上， A 、B 点在地面 OM 上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？二次函数综合训练6 米， 底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点， OMy 3 x 6 y 5x3、如图，直线4分别与 x轴、y轴交于 A、B两点，直线4与AB 交于点C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D．点 E从点 A 出发，以每秒向左运动．过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB 、OD 于 P、Q两点，形 PQMN ，设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为运动时间为 t（秒）．1 ）求点 C 的坐标．（ 1 分）2）当 0<t<5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式．（ 4分）3）求（2）中 S的最大值．（2分）4 ac b2 4a参考公式：二次函数y ax bx c图象的顶点坐标为．】4、如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，－1），且 P（－ 1，－ 2）为双曲线上的一点， Q 为坐标平面上一动点， PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、 B．1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q ，使得△ OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；3）如图 12 ，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．5、如图，抛物线 y ax bx 4a经过A （ 1，0）、C （0 ，4）两点，与x轴交于另一点 B ．（1）求抛物线的解析式； （2 ）已知点D （m ， m 1）在第一象限的抛物线上，求点 D关于直线 BC 对称的点的坐标； （3）在（ 2 ）的条件下，连 接 BD ，点 P 为抛物线上一点，且 DBP 45 °，求点 P 的坐标．6 、（ 2009 江西）如图，抛物线 yB的左侧），与 y 轴相交于点 C，顶点为 D .1 ）直接写出 A 、 B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；2 ）连接 BC ，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ； ①用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为 S ，求S 与m 的函数关系式.x 2 2 x 3 在点CyDDEAO B x与x轴相交于 A 、B 两点（点 ABC 上的一个动点，过点 P 作PF ∥10A （m ， 0），则15. ∵ 此二次函数的图象开口向下 . ∴ 当 m = 3 米时， AD+DC+CB 有最大值为 15 米 .3. 【关键词】 平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式的简单应用二次函数与一元二次方程根之间的内在联系 【答案】15∴C （3, 4）.2 ）根据题意，得 AE=t ，OE=8-t.53∴点Q 的纵坐标为 4 （8-t ） ，点 P 的纵坐标为 4 t ，53∴PQ= 4(8-t)- 4 t=10-2t.y3 x 6,x 3,5y 15 yx.y 4解得 4解：（ 1）由题意，得 详细解答：1. 【关键词】 与二次函数有关的面积问题 2 1 b c 0 b 2【答案】 解：（ 1）将 A （1， 0） B （-3 ， 0）代入 y x bx c 中得 ，∴9 3b c 0 c 32∴抛物线解析式为： y x 2x 32）存在 理由如下：由题意知 A 、B 两点关于抛物线的对称轴 x 1对称，∴直线 BC 与x 1的交点即为 Q 点，此2时△AQC 周长最小，∵ y x 2x 3∴C 的坐标为：（0， 3），直线 BC 解析式为 y x 3x1Q 点坐标即为 的解，∴y x 3x1，∴Q （-1 ，y22. 【关键词】 二次函数的图像和性质以及应用 答案】 解： （1） M （12 ， 0)，P(6，6).（2） 设抛物线解析式为： ∵抛物线y a （ xy a ( x 6) 266)26经过点 （0 ， 0)，0 a(0 6)2 6，即∴抛物线解析式为：y 1 (x 6 ) 2 6,即 612 x 62x. (3)C (12 m , B(12-m ，0) ，2m) D(m,22m )支 撑 架 ” 总 长 AD+DC+CB22 m ) (12 2 m ) 2m)22 m 121( m 3)23当 MN 在 AD 上时， 10-2t=t ，∴t=10 10当 0<t ≤ 3时， S=t(10-2t) ，即 S=-2t2+10t.10当 3≤t<5 时， S=(10-2t)2 ，即 S=4t2-40t+100.105255 253 )当 0<t ≤3时， S=-2 ( t- 2) 2+ 2，∴t= 2时， S 最大值 = 210当3≤t<5 时， S=4(t-5)2 ，∵t<5时，S 随t 的增大而减小，10100∴t= 3 时S 最大值 = 925 100 252> 9，∴S 的最大值为 24. 【关键词】 二次函数的极值问题同样可得，反比例函数解析式为2 ）当点 Q 在直线 DO 上运动时，S △ OBQ = OB ? BQ 于是OBQ21S △ OAP = II( - 1) ? ( 2) = 1 而 OAP 2所以 OQ 有最小值 2 ．由勾股定理得 OP ＝ 5，所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是 2（ OP5. 【关键词】 待定系数法 求点的坐标【答案】 解：（1） 抛物线 y ax 2 bx 4a 经过 A （ 1，0） ，C （0，4） 两点， a b 4a 0，4 a 4.OQ由勾股定理可得IIm 2 = 1 m2所以有，4m= 1，解得m 2所以点 Q 的坐标为Q 1（2 ，1）和Q 2 （- 2，- 1）3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP ＝CQ ，OQ ＝PC ， 而点 P （ 1，2 ）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形答案】（1）设正比例函数解析式为 y kx ，将点 M （ 2 ， 1）坐标代入得11 y= 2，所以正比例函数解析式为 2因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点2Q 的坐标为Q ( n ，n)2)2+ 4 n(n（n 所以当 （ n2n) 2n时，2OQ有最小值 4，又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与OQ同时取得最小值，设点 Q 的坐标为1 112m创 m m=2 24OPCQ 周长的最小值就只需求 OQ 的最小值 + OQ ) = 2( 5 + 2)(ma1解得b 3.抛物线的解析式为2x 23x 4即m2 2m 3ECB DCB 45 °E 点在y轴上，且CE CD 3OE 1 ，E （0 ，1）即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为（ 0 ，P （ 5 t 4 ，3 t ）P点在抛物线上，3t （ 5t 4）23（ 5 t 4） 4 ，22 P2，66t 0 （舍去）或t 25 ，P 5 ，25 ．方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH ⊥ x轴于H ．过Q点作QG ⊥ DH于G． PBD 45 °，QD DB ．QDG BDH 90 ° ，，2）点 D（ m ，1）在抛物线上，m1Q 点 D 在第一象限，点D 的坐标为设点 D 关于直线C （0 ，4）（3，4）BC 的对称点为点E．CD ∥ AB ，且CD1或m1）．3 ）方法一：作PF ⊥ AB 于F，DE⊥ BC于E．由（ 1）有：DBPOB OC 4 ，OBC45 °， CBD PBA45C （0 ，4，）D （3 ，4）CD ∥ OB且CDDCE CBO 45 °DE CE32OB OC BC 42 BE BC CE52tan PBF tan CBDDEBE设PF 3t 则BF 5t ，OF 5tQDG 90 ° ，DQG BDH ．又DQG△ QDG ≌△ DBHQGDH 4， DG BH 11，4 ．由（2）知 D(3 ， 4)， Q ( 1，3)．312B (4 ，0) ，y直线 BP 的解析式为5 x5yx 23 x 4，x23 12x 14，解方程组yx55y1得0；y22， 66点P 的坐标为 5 256.【关键词】 抛物线、动点、面积【答案】 解：（1） A （ -1 ， 0），B （3， 0），C （0， 3）．2）①设直线 BC 的函数关系式为： y=kx+b ． 把 B （3，0），C （0 ，3）分别代入得：3 k b 0， b3解得： k= -1 ， b=3 ．所以直线 BC 的函数关系式为： yx3当 x=1 时， y= -1+3=2 ，∴E （1，2 ）．当x m时，y m 3∴P （m ， m+3 ）．在y2x 2 x 3中，当1时，4．当x m时，y m23，∴∴线段DE=4-2=2，线段PFm 3 m 23 m ．PF ∥ DE ，25抛物线的对称轴是：2，66△ QDG ≌△ DBH QGDH 4， DG BH 1由 m 3 m 2 ，解得：m 1 2， m 2 1（不合题意，舍去） ．因此，当 m2时，四边形 PEDF 为平行四边形②设直线PF与x轴交于点M ，由B 3 ，0 ，O 0 ，0 ，可得：OB OM MB 3∵S S△ BPFS △ CPF ．S 1PF BM1 P F OM 1PF 1( BM OM ) PF OB即2 222．∴当PFED 时，四边形 PEDF0≤3m32 m 2 9m21S2 3 m为平行四边形．m ≤。