习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-;已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,即得圆心),(b a C 和半径r ,进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x(C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x二、位置关系问题例2 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=四、弦长问题例4设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点,且弦AB 的长为32,则=a .五、夹角问题例5 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( ) (A)21 (B)53 (C)23 (D) 0六、圆心角问题例6 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l 的斜率=k .七、最值问题例7 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( ) (A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25八、综合问题例8 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式,要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程:(x -a)2+(y -b)2=r 2,其中(a ,b)是圆心坐标,r 是圆的半径;(2) 圆的一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 (D 2+E 2-4F >0),圆心坐标为(2,2E D --),半径为r =2422F E D -+ 2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一:直线:Ax +By +C =0;圆:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二:直线:Ax +By +C =0;圆:(x -a)2+(y -b)2=r 2,圆心(a ,b)到直线的距离为d =⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22.3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2,半径分别为r 1、 r 2, |O 1O 2|为圆心距,则两圆位置关系如下:|O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离;|O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切;|r 1-r 2|<|O 1O 2|<r 1+r 2⇔两圆相交;|O 1O 2|=|r 1-r 2|⇔两圆内切;0<|O 1O 2|<|r 1-r 2|⇔两圆内含.●点击双基1.方程x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0(t ∈R )表示圆方程,则t 的取值范围是A.-1<t <71B.-1<t <21C.-71<t <1 D .1<t <2 2.点P (5a +1,12a )在圆(x -1)2+y 2=1的内部,则a 的取值范围是 A.|a |<1 B.a <131C.|a |<51 D .|a |<1313.已知圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时,圆必过原点B.当a =r 时,圆与y 轴相切C.当b =r 时,圆与x 轴相切D .当b <r 时,圆与x 轴相交●典例剖析【例2】 一圆与y 轴相切,圆心在直线x -3y =0上,且直线y =x 截圆所得弦长为27,求此圆的方程.夯实基础1.方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形,则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =02.(2004年全国Ⅱ,8)在坐标平面内,与点A (1,2)距离为1,且与点B (3,1)距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条3.(2005年黄冈市调研题)圆x 2+y 2+x -6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx -y +4=0对称,则k =____________.4.(2004年全国卷Ⅲ,16)设P 为圆x 2+y 2=1上的动点,则点P 到直线3x -4y -10=0的 距离的最小值为____________.5.(2005年启东市调研题)设O 为坐标原点,曲线x 2+y 2+2x -6y +1=0上有两点P 、Q ,满足关于直线x +my +4=0对称,又满足OP ·OQ =0.(1)求m 的值;(2)求直线PQ 的方程.培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.求(1)xy 的最大值和最小值;(2)y -x 的最小值;(3)x 2+y 2的最大值和最小值.8.(文)求过两点A (1,4)、B (3,2),且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1(2,3),M 2(2,4)与圆的位置关系.“求经过两圆04622=-++x y x 和028622=-++y y x 的交点,并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。
”同学们普遍使用下面两种方法求解:方法—:先求出两已知圆交点()()2,6,3,121---A A ,再设圆心坐标为),4(b b B +,根据r B A B A ==21,可求出圆心坐标及半径r ,于是可得所求圆方程。
方法二:先求出两已知圆交点()()2,6,3,121---A A ,再设所求圆的方程为:022=++++F Ey Dx y x ,其圆心为()22,E D --,代入04=--y x ,再将A 1,A 2两点坐标代入所设圆的方程,可得三个关于D,E,F 的三元一次方程组,求出D,E,F 的值,这样便可得所求圆的方程。
但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解,可以更加方便。
经过两已知圆的交点的圆系设圆C 1与C 2的方程为: C 1: 011122=++++F y E x D y xC 2: 022222=++++F y E xD y x .并且两圆相交于两点。
引进一个参数λ,并令: 11122F y E x D y x +++++λ(22222F y E x D y x ++++)=0 ——① 其中λ≠-1。
引进两个参数1λ和2λ,并令:1λ(11122F y E x D y x ++++)+2λ(22222F y E x D y x ++++)=0 ——② 其中1λ+2λ≠0不论参数取何值,方程①与②中的x 2项和y 2项的系数相等,方程没有xy 项,而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②,所以①与②都是经过两已知圆的交点的圆系,但是①与②稍有不同:⑴ 当λ=0时,方程①的曲线就是圆C 1;不论λ为何值,方程①的曲线都不会是圆C 2。
所以方程①表示经过两已知圆的交点的一切圆,包括圆C 1在内,但不包括圆C 2。
⑵ 当1λ=0时,方程②的曲线就是圆C 2;当2λ=0时,方程②的曲线就是圆C 1。
所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆,包括圆C 1和圆C 2在内。
下面应用圆系来解本文前面的问题:设经过已知两圆的交点的圆的方程为:0)286(462222=-+++-++y y x x y x λ. (λ≠-1)则其圆心坐标为)13,13(λλλ+-+- ∵ 所求圆的圆心在直线04=--y x 上∴ λ+-13+λλ+13-4=0, 解得λ=-7 ∴ 所求圆的方程为:4622-++x y x -70)286(22=-++y y x 即:032722=-+-+y x y x下面再举两例说明圆系的应用例1. 求经过两已知圆:06422=--+x y x 和06422=--+y y x 的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。
例2. 设圆方程为:016448)4012()42()4()4(22=--+++++++λλλλλy x y x 其中λ≠-4求证: 不论λ为何值,所给圆必经过两个定点。
直线与圆的位置关系二、例题选析例1:求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程;(1)经过点)1,3(P ,(2)经过点)0,3(Q ,(3)斜率为1-例2:已知点),(00y x P 在圆022=++++F Ey Dx y x 的外部,过P 作圆的切线,切点为M , 求证F Ey Dx y x PM ++++=002020。
例3:从圆外一点),(b a P 向圆222r y x =+引割线,交该圆于A 、B 两点,求弦AB 的中点轨迹方程。
备选例题:例4*:已知对于圆1)1(22=-+y x 上任意一点),(y x P ,不等式0≥++m y x 恒成立,求实数m 的取值范围。
轴对称例1、已知点A(4,1),B(0,4),在直线L :y=3x-1上找一点P ,求使|PA|-|PB|最大时P 的坐标。
例2、光线由点C (3,3)出发射到直线L :y=3x-1上,已知其被直线L 反射后经过点A(4,1),求反射光线方程。
例3、已知ΔABC 的顶点A 的坐标为(1,4),∠B、∠C 的平分线的分别方程为02=-y x 和01=-+y x ,求BC 所在的直线方程。
直线和圆1.自点(-3,3)发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切,求光线L 所在直线方程.2.已知圆C :044222=-+-+y x y x ,是否存在斜率为1的直线L ,使以L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点,3.(12分)求过点P (6,-4)且被圆2220x y +=截得长为的弦所在的直线方程.4.(12分)已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈(1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交;(2)求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程.5(12分)已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P 、Q 两点,且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点,求实数m 的值.6.已知圆C :(x+4)2+y 2=4和点A(-23,0),圆D 的圆心在y 轴上移动,且恒与圆C 外切,设圆D 与y 轴交于点M 、N.∠MAN 是否为定值?若为定值,求出∠MAN 的弧度数;若不为定值,说明理由.7.(14分)已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点,且OP ⊥OQ (O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径长.8.(14分)求圆心在直线0x y +=上,且过两圆22210240x y x y +-+-=,22x y +2280x y ++-=交点的圆的方程.9.(12分) 已知一个圆截y 轴所得的弦为2,被x 轴分成的两段弧长的比为3∶1.(1)设圆心为(a ,b ),求实数a ,b 满足的关系式;(2)当圆心到直线l :x -2y =0的距离最小时,求圆的方程.10 已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切,并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ,求圆C 的方程11.(1997全国文,25)已知圆满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l :x -2y =0的距离为55,求该圆的方程.12.(1997全国理,25)设圆满足:(1)截y 轴所得弦长为2;(2)被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1.在满足条件(1)、(2)的所有圆中,求圆心到直线l :x -2y =0的距离最小的圆的方程.13.(2002北京文,16)圆x 2+y 2-2x -2y +1=0上的动点Q 到直线3x +4y +8=0距离的最小值为 .经过两已知圆的交点的圆系及应用在高中数学第二册(上)第82页有这样一道题:“求经过两圆04622=-++x y x 和028622=-++y y x 的交点,并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。