中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若+→0x 时，x x-+11ln与αx是等价无穷小，则=α.解题过程是：2. =-→3s i n a r c t a n limxxx x .解题过程是：3. 曲线)1ln(1xe x y ++=，渐近线的条数为： .解题过程是：4. =∂∂+∂∂=yz yxz xx y xy z 则设,tan.解题过程是：5.微分方程2='+''y y y ,10==x y满足初始条件:210的特解是='=x y.解题过程是： 6.的值为：，则二重积分为若平面区域y x y x y x D Dd d )cos(20,20:⎰⎰+≤≤≤≤ππ.解题过程是： 7..d )33(0cos cos =-⎰-x xxπ解题过程是：8. 设函数)(x f 的一个原函数是22x ，则x x f x d )(⎰'= .解题过程是：9.⎰⎰⎰+--=+=ΩΩVz x yxz yxz d )(,12222计算所围成与由设空间区域=.解题过程是：10. 设曲线AnO 0)((0,0),0)(22>--=+a O a A ax y x 一段到的下半圆周自为，()()=-+-⎰y y e x y y e x AnOx d 3cos d 3sin 计算.解题过程是：二、计算题（每小题6分，本题共42分）： .38)2()1(),0()0)(,(),0,1(.1的值时，确定所围平面图形面积为与当直线的方程；求的斜率之差等于与直线的切线斜率其上点过点坐标平面上，连续曲线在a ax y L L a ax OP x y x P M L xoy =>≠解题过程是：2. 设.)0(122的上侧是曲面≥--=z y xz Σ，计算曲面积分.d d )1(3d d 2d d 2233y x z x z y z y x I ⎰⎰∑-++=解题过程是：.01232932.3222的切平面方程的平行于平面求椭球面=++-=++z y x zyx解题过程是：).(4,0d ]21([1)()0(),0()(.4222222t f t y x h z Vy xf z t f t t x f 确定，求由不等式其中满足下式：上连续，且对任意的在设函数≤+≤≤+++=>+∞⎰⎰⎰ΩΩ解题过程是：{}.0,4),(2),(.5222222上的最大值和最小值在区域求函数≥≤+=-+=y yxy x D y x yxy x f解题过程是：6. 设曲面1:=++z y x ∑，计算曲面积分⎰⎰+∑Sy x d )(.解题过程是：).,(,),()()(2),(0.724224y x u y x u jy x x i y x xy y x A x 并求的梯度为某二元函数上的向量使在右半平面确定常数 λλλ+-+=>解题过程是：三、证明题（本题8分）：).()(),(),()(),()(),(],[)(),(ξξξg f b a b g b f a g a f b a b a x g x f ''=''∈==使得，存在证明：相等的最大值，内具有二阶导数且存在上连续，在在设函数中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1. 若+→0x 时，x x-+11ln与αx 是等价无穷小，则=a .解题过程是：若+→0x 时，x x -+11ln与αx是等价无穷小， ())()()(1ln )1ln(11lnx o x x o x x o x x x xx +=+++=--+=-+，则+→0x ，,~)(αx x o x +故21=α.2. =-→3s i n a r c t a n limx xx x .解题过程是：61)](6[)](3[limsin arctan lim333333-=+--+-=-→→xx o xx x o xx xxx x x .3. 曲线)1ln(1xe x y ++=，渐近线的条数为： 3 ..解题过程是：曲线)1ln(1xe xy ++=渐近线有3条：垂直渐近线0=x ，水平渐近线)(0-∞→=x y ，斜渐近线)(+∞→=x x y . 4.='+'⎪⎭⎫⎝⎛=y x z y z x u f x y xyf z 则可导函数设,)(,..20tan 202,1,:22z x y xy x y xyf z y z x x y f y x y xf x x y f xy x y xf y zx y f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z y x =+=+⎪⎭⎫⎝⎛='+'∴⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂解5.微分方程2='+''y y y ,10==x y满足初始条件:210的特解是='=x y.解题过程是：.1,1:,1,1,,d d 2,21d d .2,121,21,1d d ,1ln ln ln ,d d ,d d d d 0,0d d ,d d ,),(220221101112+=+==⇒=+=⇒=⇒=∴=⇒=⇒='=∴=⇒+-=-=⇒-=⇒-=≠=+='''='=''==⎰⎰x y x y C yC x yx y y yxy C C y yC xy y C P C y P yyP P y y P P P y P y P Py P yP yP P y y P y y f y x x 或通解，，时，代入型，令解：6.的值为：，则二重积分为若平面区域y x y x y x D Dd d )cos(20,20:⎰⎰+≤≤≤≤ππ.解题过程是： .2)1(cos)sin 1()cos()cos()cos()cos(.22020222020202121-=---=+-+=+-+==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--πππππππππdx x dx x dyy x dx dy y x dx dxdyy x dxdy y x I D D D y x x xD D 两个区域、分为把区域解：用直线7..d )33(0cos cos =-⎰-x xxπ解题过程是：解：令tx -=2π， ttsin sin 33--是奇函数，得xxx d )33(0cos cos ⎰--π=.0d )33()d ()33(22sin sin 22sin sin =-=--⎰⎰----t t ttttππππ8. 设函数)(x f 的一个原函数是22x ，则x x f x d )(⎰'= .解题过程是：x x f x d )(⎰'==-=⎰⎰)()()(d x f x xf x f x C x xx+-2222ln 222.9.⎰⎰⎰+--=+=ΩΩdV)(,12222z x yx z y xz 计算所围成与由设空间区域=解题过程是：.8sin cos )(.0),,(124020πϕϕϕθΩππΩΩΩ=⋅==+∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr rr d d zdv dv z x xdv x x z y x f yoz 利用球面坐标系的奇函数，有为面为对称，关于10. 设曲线AnO 0).((0,0),0)(22>-=+a O -a A ax y x 一段到的下半圆周自为，()()=-+-⎰dy y e dx y y e x AnO x 3cos 3sin .计算.解题过程是： (),83221333cos cos ,22a a dxdy dxdy y e y e dxdy y P x Q OA D D xx D AnOOAAnOAππ=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅==+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，组成闭曲线解：补上线段()⎰⎰⎰⎰=⋅-+⋅⋅-=-=∴axOAAnOAAnOa edx e a 0228303083 ππ.二、计算题（每小题6分，本题共42分）：.38)2()1()0(,)0)(,(),0,1(.1的值时，确定所围平面图形面积为与当直线的方程；求的斜率之差等于与直线的切线斜率其上点过点坐标平面上，连续曲线在a ax y L L a ax OP x y x P M L xoy =>≠解题过程是：,),()1(ax xyy x f y L =-'=由题设得，的方程为设曲线解：由通解公式，这是一阶线性微分方程.,Cxax C ax x C x axee y xxx x+=+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰=⎰-2d 1d 1)(d又,,0)1(a C f -=∴=故曲线L 的方程为：)0(2≠-=x ax ax y .围成的平面图形面积与直线)0()2(>=a ax y L()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰()220482d 33a x x x a =-==⎰2.a =故2. 设.)0(122的上侧是曲面≥--=z y xz Σ，计算曲面积分.)1(322233dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=解题过程是： .1122，组成闭曲面的下侧为平面圆域解：补充Σyx xoy =+.)1(322)1(32211233233dxdy zdzdx y dydz x dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-++--++=dxdydzz yxdxdy zdzdx y dydz x ⎰⎰⎰⎰⎰++=-++∑+∑Ω)(6)1(322222331.2)]1()1(21[12)(62322102011022ππθπ=-+-=+=⎰⎰⎰⎰-dr r r r r rdz r z dr d r而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdydxdy zdzdx y dydz x π故.32πππ-=-=I.01232932.3222的切平面方程的平行于平面求椭球面=++-=++z y x zyx解题过程是：),,,(,932),,(:000222z y x M z y x z y x F 切点设解-++=,.},2,3,2{},2,6,4{},2,6,4{},,{000000n n n z y x n z y x F F F n z y x∥由题意-==='''=,,2,2,223624000000λλλλ=-====-=z y x z y x.2,92322,132),,(222202020000±==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++λλλλ解得在椭球面上z y x z y x M.),2,1,1(),2,1,1(代入得切平面方程切点---.9232,9232-=+-=+-z y x z y x 及).(4,0d ]21([1)()0(),0()(.4222222t f t y x h z Vyxf z t f t t t f 确定，求由不等式其中满足下式：上连续，且对任意的在设函数≤+≤≤+++=>∞⎰⎰⎰ΩΩ解题过程是： dz)]2r f([zrdr dθ1f(t)式可写为解：在柱坐标系下，等2π2th2⎰⎰⎰++=⎰++=2t2)]dr2r f(3hr[2πh1即，f(t) 等式两边对t 求导得)],(3[8)(2t f hht t f +='π⎰⎰=+'8πhtdtdt f(t)3h(t)f 分离变量并积分2C4πh t f(t))3hln(得22+=+1),3hln(C 1,f(t)lim f(0)由原等式可得2t +=⇒==+→.3h )e h 31(1f(t)24πht22-+=∴{}.0,4),(2),(.5222222上的最大值和最小值在区域求函数≥≤+=-+=y yxy x D y x yxy x f解题过程是：解：（1）,24,2222y x y f xy x f y x-='-='22222),(y x y x y x f -+=求函数的驻点⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='024,02222y x y f xy x f y x {}0,4),(22≥≤+=y y x y x D 区域内的驻点为：)1,2(±.（2）.2),(2222边界上的极值在区域求函数D y x y x y x f -+=构造拉格朗日函数： )4(2),,(222222-++-+=y x y x y x y x L λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=+-=∂∂=+-=∂∂040)2(240)2(222222y x L y y x y y L x xy x x L λλλ条件极值驻点为：)23,25(±（3）比较.2),(2222在这些点的值的大小，函数y x yx y x f -+=最小值为0。