π 2 ( x) 随 π ( x )
的变化而不规则变化，因此除具体计算，无法给出一般的表达式，只有当 x 无限大时素数定 理提供了素数的渐进表达式， 从而为解决该问题提供了可能， 孪生素数猜想的所有证明无法 离开素数定理。本论文给出的证明方法如此的简单，可能会使许多数学家大跌眼镜，不屑一 顾，但我希望阅读论文的人们保持足够的耐心，最后你会看到证明是无懈可击的。 2、我们的问题是 n 生素数是否有无限多个？能否用解决上述问题的方法解决 此类问题?
x /
（15）
⎛ ⎞ u ⎟ ln(u − 2)du ≥ 0 2 ∫x / t ⎜ ⎜ ln u ( ln(u − 2) ) ⎟ ⎝ ⎠
x
/
将（15）及上式带入（14）从而得知
π 2 ( x) ≥
≥ ≥ ≥ =
x x x du − − ∫ π (u) 2 ln x ln(x − 2) t (ln x − ln t) ( ln(x − 2t) − ln t ) x / t ( ln(u − 2)) ( u − 2)
= ∑ v(n) (π (n − 2) − π (n − 3) )
n≤ x n≤ x
(12)
由于 π ( x ) 目前为止还没有精确的表达式，并且它还是非连续函数。 π ( x ) 只在特定条件下 有渐进表达式， 因此我们只能在特定条件下求上述方程的解。 由素数定理 （7） 知， 当x→∞ 时， 有渐进式 π ( x ) ∼ b 为充分大。则有
x x x ， 我们将 （12） 分为两部分， 并设定 x → b, π ( x) = ， ∼ ln x + a ln x ln x
π 2 ( x ) = ∑ v (n − 2)v ( n)
= ∑ v ( n) (π ( n − 2) − π ( n − 3) )
n≤ x n≤ x
= ≥ = =
其中
孪生猜想：是否存在无穷多个素数p, 使得p+2 也是素数，这就是孪生素数猜想。许多人认 为已经证明了这一猜想， 但本人以为该猜想依然是猜想。 英国数学家哈代和李德伍兹曾给出 过一个猜测，如果 π 2 ( x) 代表不大于x的孪生素数个数，则有：
π 2 ( x) = 2c2 ∫
x
dt
2
( ln t )
x x ≥ ln x ln( x − 2) ( ln x )2
其中
从而有
-4-

π 2 ( x) ≥
定理证毕。
x
( ln x )
2
⎛ 1 ⎞ 1 ⎜1 − − ⎟ , x → ∞, t ≥ 2 ⎝ t ln( x − 2) ⎠
（16）
对于本定理我们还有另一种证明方法， 由素数定理我们有 π ( x ) =
y < n≤ x
∑ a ( n) f ( n )
x y
= A( x) f ( x) − A( y ) f ( y ) − ∫ A(t ) f / (t )dt
特别的,取 y=1,则有
y < n≤ x
(9)
∑ a ( n) f ( n)
x
(10)
/
= A( x) f ( x) − ∫ A(t ) f (t )dt
a x （其中 n ln x + a n
是指任意条件下满足上式的值）结合（13）中的 π ( n − 2) − π ( n − 3) 可以使 cn 变为一个可微 分连续函数，再结合 Abel 恒等式可以使 π 2 ( x) 有界，并可以估算出其上界。但计算和证明 较复杂，这里不再赘述。
附记： 1、孪生素数问题长期没能得到解决，关键是人们没有找到正确的方法，英国 数学家 Hardy 和 Littlewood 对孪生素数猜想的证明给出了一个正确的思路，本证明最关键 的发现在于核心等式（10），因为我们知道，一旦 π ( n − 2) − π ( n − 3 ) 以一个连续并且是可 微分的函数形式存在， 那么孪生素数猜想就完全可以得到解决。 而实际情况是
又因为
π ( x ) = ∑ v ( n ) ，设 b = x , t ≥ 2, x → ∞, 而
n≤ x
t
1 为可微分的连续函数，对上式 ln(n − 2)
运用 Abel 恒等式则有
-3-

π 2 ( x) ≥
⎛ ⎞ 1 v ( n) ⎜ ⎟ x / t <n≤ x ⎝ ln(n − 2) ⎠ x x du 1 1 = π ( x) −π ( ) − ∫ π (u ) 2 / x t t ln( x − 2) ln( x − 2) ( ln(u − 2) ) ( u − 2 ) t （14） x x x du = − − π (u ) 2 ln x ln( x − 2) t ln x ln( x − 2) ∫x / t ( ln(u − 2) ) ( u − 2 ) t t x x x du = − − ∫ π (u ) 2 ln x ln( x − 2) t (ln x − ln t ) ( ln( x − 2t ) − ln t ) x / t ( ln(u − 2) ) ( u − 2 )
（13）
b<n≤ x
b<n≤ x
∑ v(n) ⎜ ln(n − 2) ⎟ = ∑ v(n) ⎜ ln(n − 2) ⎟
⎠
b< n≤ x
⎞
1
⎞
⎝
⎠
cn = n − 2 −
(n − 3) ln(n − 2) ln(n − 3)
⎛ ln(n − 2) ⎞ （n − 3 ） lim cn = lim ⎜ n − 2 − ⎟ ln(n − 3) ⎝ ⎠ n →∞ x →∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ） （n − 3 ⎜ ⎟ =1 = lim n − 2 − ⎜ 1 ⎞⎞ ⎟ ⎛ ⎛ n →∞ ⎜ ⎜1 + ln ⎜1 − n − 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎠ ⎝ ⎝
参考文献
[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 卢昌海个人主页《孪生素数猜想》2003 年 4 月 6 日纽约 潘承洞 潘承彪《素数定理的初等证明》上海科学技术出版社 1988 年第 8 页 潘承洞 潘承彪《素数定理的初等证明》科学出版社 1988 年第 59 页 靳平主编 《数学的 100 个基本问题》 山西科学技术出版社 2004 年 第 75 页 （加）R.k.盖伊 《数论中未解决的问题》 科学出版社 2003 年 第 29 页 黄明刚等 《陈景润论文集》江西教育出版社 1988 年 第 317 页 潘承洞 潘承彪 《初等数论》北京大学出版社 1992 年 369 页 华罗庚 《堆垒素数论》 科学出版社 1957 年 华罗庚《指数和德估计及其在数论中的运用》 科学出版社 1963 年

论给定条件下孪生素数猜想的证明
苏法王
新疆大学 新疆乌鲁木齐市 邮编 830072 E-mail:fwxxx@ sfwxxx@
摘 要： 本文对孪生素数函数性质的进行了深刻的研究， 并结合 Hardy-Littlewood 关于孪生 素数函数的猜测， 对孪生素数函数上界进行了估算并给出了一个具体的上界，本人的研究 给出了孪生素数猜想的一个证明。 关键词： 孪生素数分布 数学猜想 特殊函数 数学方法
-5-

Under specific conditions to prove the twin prime conjecture method
∑
分步积分
∫
x
udu ln t ( ln(u − 2)) (u − 2)
2 x
x/t
=∫
x
ud ( u − 2) ln u ( ln(u − 2)) (u − 2)
2 /
x/t
⎡ ⎤ ⎞ x⎛ u u (u − 2)du =⎢ − ⎜ ⎥ 2 ∫6 ⎜ ln u ( ln(u − 2))2 (u − 2) ⎟ ⎟ ln ln( − 2) u u ( ) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦x/ t ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ u = − −∫ ⎜ ⎟ ln(u − 2)du 2 2 2 x/t ⎜ ⎟ ln x ( ln(x − 2)) ln x / t ( ln(x / t − 2)) ln ln( − 2) u u ( ) ⎝ ⎠ x x/t
1
具体证明参考[3]
-2-

定理： 设正 x 为实数，则有：
π 2 ( x) ≥
⎞ x ⎛ 1 1 1− − ⎟ , x → ∞, t ≥ 2 2 ⎜ (ln x) ⎝ t ln( x − 2) ⎠
（11）
证明：结合（4）（5）有：
π 2 ( x) = ∑ v(n − 2)v(n)
（2=0，1，2……为自然数。 定义 2 函数
n 为素数 n 为其他
（3）
π ( x) = ∑ v(n)
n≤ x
（4）
其中 n=0，1，2……为自然数， π ( x ) 表示不超过 x 的素数个数。 定义 3 函数
-1-

} 中，以步长 ln x 来寻找素数，那么共能找出 π ( x)
π 2 ( x ) = ∑ v ( n ) v ( n − 2) ∼ π ( x )
n≤ x
1 个，而这正好相 ln x
当于
1 ln x
（6）
由于上述计算只是概率意义的，因此，孪生素数猜想需要给出一个严格的证明，当然这种证 明不应该是概率意义上的。 素数定理： 设 a 为任意实数
π( x) ∼
参见数论书籍[2]。
x x ∼ ，x →+∞ lnx + a lnx
(7)
π（x）表示不超过 x 的素数的个数，其中 a 为常数。上述公式是著名的素数定理，其证明
Abel 恒等式 设 a ( n) 是一算术函数，其和函数
A( x) = ∑ a ( n)
n≤ x
(8)